Fuerza en anilla ensartada en varillas
De Laplace
(→Sin considerar el peso) |
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<center><math>\vec{F}_R = \vec{F}_\rho = m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2)\vec{u}_\rho</math></center> | <center><math>\vec{F}_R = \vec{F}_\rho = m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2)\vec{u}_\rho</math></center> | ||
- | + | Calculamos los términos que aparecen en esta expresión | |
- | <center><math>\ | + | <center><math>\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \dot{\rho}=-L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad \ddot{\varphi}=-L\Omega^2\cos(\Omega t)</math></center> |
- | + | <center><math>\varphi = \Omega \qquad\qquad\dot{\varphi}=\Omega\qquad\qquad \ddot{\varphi}=0</math></center> | |
- | + | y por tanto | |
- | <center><math>\vec{F}= | + | <center><math>\vec{F}_R = m\left(-L\Omega^2\cos(\Omega t)-L\Omega^2\cos(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho=-2mL\Omega^2\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho</math></center> |
- | + | Asimismo, la fuerza ejercida por la varilla de la izquierda <math>\vec{F}_L</math> va en la dirección perpendicular a ella misma. Por tanto <math>\vec{F}_L</math> va en la dirección de <math>\vec{u}_\varphi</math> y es igual a | |
- | + | <center><math>\vec{F}_L = m(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\vec{u}_\varphi = -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\varphi</math></center> | |
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==Incluyendo el peso== | ==Incluyendo el peso== |
Revisión de 00:02 14 nov 2013
1 Enunciado
Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ´esta de masa m, (a) despreciando el peso, (b) considerando el peso en la dirección de OY negativo. Tenga en cuenta que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.
2 Sin considerar el peso
Conocemos el movimiento de la anilla; se ve en este problema y en este otro: describe un movimiento circular uniforme en torno al punto medio de los dos anclajes, siendo su velocidad angular 2Ω y el radio de giro L / 2. La ecuación horaria del movimiento es, respecto al anclaje de la izquierda,
o, expresada en coordenadas polares respecto a este mismo punto
La fuerza neta que actúa sobre la anilla nos la da la segunda ley de Newton
que en coordenadas polares queda
Si no consideramos el peso, las fuerzas que actúan sobre la anilla se deben exclusivamente a las dos varillas
La varilla de la derecha ejerce sobre la anilla una fuerza . Esta fuerza es siempre perpendicular a la propia varilla (ya que ésta no puede impedir que la anilla) se mueva a lo largo de ella. Pero la perpendicular a la varilla de la derecha es justamente la dirección de la varilla de la izquierda, que a su vez es la dirección radial desde O. Por tanto
Calculamos los términos que aparecen en esta expresión
y por tanto
Asimismo, la fuerza ejercida por la varilla de la izquierda va en la dirección perpendicular a ella misma. Por tanto va en la dirección de y es igual a
3 Incluyendo el peso
Cuando se considera el peso, el cálculo es similar, ya que podemos aplicar el principio de superposición. Incluyendo el peso, la ecuación de movimiento queda
o, equivalentemente,
Incluso si consideramos el peso, la aceleración es la misma que en el apartado anterior, ya que el movimiento de la anilla está gobernado por las barras. la anilla tiene 0 grados de libertad. Por ello podemos hallar las fuerzas debida a las barras como suma de 2
tales que
Las dos primeras son las mismas que se calcularon en la sección anterior. Solo queda descomponer el peso (cambiado de signo) en suma de dos fuerzas perpendiculares a las barras.
El peso forma un ángulo θ = Ωt con la barra 2 y su complementario con la barra 1. Por ello, se cumple
y, en forma vectorial
En la base cartesiana
y
La suma de estas dos da una fuerza constante en la dirección vertical, como corresponde al peso.
Sumando cada una con al correspondiente del apartado anterior obtenemos la fuerza ejercida por cada una de las barras.
y