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Análisis de ecuación horaria

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Componentes intrínsecas de la aceleración)
(→Aceleración normal)
Línea 74: Línea 74:
Una vez que tenemos la aceleración completa y la tangencial, podemos hallar la normal restando
Una vez que tenemos la aceleración completa y la tangencial, podemos hallar la normal restando
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<center><math>\vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t = \left(2-\frac{32}{9}\right)\vec{\imath}+\left(0-\frac{8}{9}\right)\vec{\jmath}+\left(8-\frac{64}{9}\right)\vec{k}=\frac{-14\vec{\imath}-8\vec{\jmath}+8\vec{k}}{9}</math></center>
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<center><math>\vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t = \left(2-\frac{32}{9}\right)\vec{\imath}+\left(0-\frac{8}{9}\right)\vec{\jmath}+\left(8-\frac{64}{9}\right)\vec{k}=\frac{-14\vec{\imath}-8\vec{\jmath}+8\vec{k}}{9}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
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La aceleración normal escalar es el módulo de este vector
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<center><math>a_n = |\vec{a}_n|= \frac{\sqrt{14^2+8^2+8^2}}{9}=2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
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De hecho, operando con las funciones del tiempo, sin sustituir t por 2&thinsp;s, puede demostrarse que <math>a_n=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math> en todo instante.
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La aceleración normal también puede hallarse sin pasar por la aceleración tangencial mediante la fórmula
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<center><math>\vec{a}_n = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{|\vec{v}|^2}</math></center>
==Radio y centro de curvatura==
==Radio y centro de curvatura==
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]
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Revisión de 18:47 5 nov 2013

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve por el espacio de forma que su posición, en las unidades fundamentales del SI, viene dada por la ecuación horaria

\vec{r}=t^2\vec{\imath}+t\vec{\jmath}+\frac{2}{3}t^3\vec{k}
  1. Calcule el desplazamiento y la distancia que recorre la partícula entre t = 0 y t = 3 s.
  2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración en t = 2 s, como escalares y como vectores.
  3. Calcule el radio de curvatura en t = 2 s así como el centro de curvatura en ese instante.

2 Desplazamiento y distancia

2.1 Desplazamiento

El desplazamiento lo da la diferencia (vectorial) entre la posición final y la inicial

\Delta \vec{r}=\vec{r}(3\,\mathrm{s})-\vec{r}(1\,\mathrm{s})

Sustituyendo en la ecuación horaria

\vec{r}(1\,\mathrm{s})=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\vec{k})\,\mathrm{m}\qquad\qquad \vec{r}(3\,\mathrm{s})=(9\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+18\vec{k})\,\mathrm{m}

resulta el desplazamiento

\Delta \vec{r}=\left(7\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+\frac{52}{3}\vec{k}\right)\mathrm{m}

El módulo de este desplazamiento vale

\left|\Delta\vec{r}\right|=\frac{\sqrt{3316}}{3}\mathrm{m}=19.195\,\mathrm{m}

2.2 Distancia

Para hallar la distancia recorrida debemos calcular en primer lugar la rapidez, ya que

\Delta s = \int_{t_i}^{t_f}\left|\vec{v}\right|\mathrm{d}t

Calculamos en primer lugar la velocidad

\vec{v}=2t\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2t^2\vec{k}

A partir de esta la rapidez

\left|\vec{v}\right| = \sqrt{4t^2+1+4t^4} = 2t^2+1

Integramos ésta entre el instante inicial y el final

\Delta s=\int_1^3 (2t^2+1)\mathrm{d}t=\left(\frac{2}{3}t^3+t\right|_1^3 = \frac{58}{3}\mathrm{m}=19.33\,\mathrm{m}

La distancia recorrida es superior al módulo del desplazamiento, ya que la trayectoria es una curva, mientras que el módulo del desplazamiento se mide en línea recta, que siempre es una distancia más corta.

3 Componentes intrínsecas de la aceleración

Derivando de nuevo hallamos la aceleración en cada instante

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=2\vec{\imath}+4t\vec{k}

En t=2\,\mathrm{s} la velocidad, la rapidez y la aceleración valen

\vec{v}(2\,\mathrm{s})=(4\vec{\imath}+\vec{\jmath}+8\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad |\vec{v}| = 9\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad \vec{a}(2\,\mathrm{s})=(2\vec{\imath}+8\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

3.1 Aceleración tangencial

A partir de ellas podemos calcular la aceleración tangencial proyectando la aceleración sobre la velocidad

a_t = \frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|}=\frac{2\cdot4+0\cdot 1+8\cdot 8}{9}=8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

y, en forma vectorial

\vec{a}_t = \frac{(\vec{v}\cdot\vec{a})\vec{v}}{|\vec{v}|^2}= \frac{72(4\vec{\imath}+\vec{\jmath}+8\vec{k})}{81}=\frac{8}{9}(4\vec{\imath}+\vec{\jmath}+8\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

También podemos hallar la aceleración tangencial derivando la rapidez respecto al tiempo

a_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(2t^2+1) = 4t

que en t=2\,\mathrm{s} produce el resultado ya conocido

a_t=8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

3.2 Aceleración normal

Una vez que tenemos la aceleración completa y la tangencial, podemos hallar la normal restando

\vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t = \left(2-\frac{32}{9}\right)\vec{\imath}+\left(0-\frac{8}{9}\right)\vec{\jmath}+\left(8-\frac{64}{9}\right)\vec{k}=\frac{-14\vec{\imath}-8\vec{\jmath}+8\vec{k}}{9}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

La aceleración normal escalar es el módulo de este vector

a_n = |\vec{a}_n|= \frac{\sqrt{14^2+8^2+8^2}}{9}=2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

De hecho, operando con las funciones del tiempo, sin sustituir t por 2 s, puede demostrarse que a_n=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 en todo instante.

La aceleración normal también puede hallarse sin pasar por la aceleración tangencial mediante la fórmula

\vec{a}_n = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{|\vec{v}|^2}

4 Radio y centro de curvatura

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/An%C3%A1lisis_de_ecuaci%C3%B3n_horaria"

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