Péndulo compuesto

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 20:09 18 ene 2013

Contenido

1 Enunciado
2 Periodo
- 2.1 Aplicando la ley de conservación de la energía
- 2.2 Analizando las fuerzas aplicadas
3 Fuerza de reacción

1 Enunciado

Se tiene un péndulo compuesto consistente en una barra de longitud $H$ y masa $M$ suspendida por un punto situado a una distancia $b$ del centro de la barra ( $b < H / 2$ ). Suponiendo que la barra se desvía un ángulo pequeño $θ 0$ respecto de la vertical y a partir de ahí se suelta:

Determine el periodo de oscilación de la barra
Calcule la fuerza ejercida sobre el punto de anclaje cuando la barra pasa por la vertical en su oscilación.

2 Periodo

Determinaremos en primer lugar la ecuación de movimiento para el ángulo $θ$ que la barra forma con la vertical. Esto se puede hacer a partir de las fuerzas aplicadas o mediante la ley de conservación de la energía mecánica.

2.1 Aplicando la ley de conservación de la energía

De acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas para un sólido (o teorema de la energía cinética), se cumple

$\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P =\sum_i \vec{F}_i\cdot\vec{v}_i$

Su peso, $M\vec{g}$ , aplicado en el CM
La fuerza de reacción, $\vec{F}_A$ ejercida por el soporte y aplicada en la posición de éste, que es fija.

De estas dos, solo el peso desarrolla una potencia, ya que la velocidad del punto de anclaje es nula.

A su vez, por tratarse de una fuerza conservativa, la potencia del peso es igual al ritmo de disminución de la energía potencial

$P_g = (M\vec{g})\cdot\vec{v}_C = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}$

siendo U la energía potencial gravitatoria

$U = M g y_C\,$

Por tanto, al ser la potencia debida a una fuerza conservativa, la energía mecánica se conserva

$K + U = E = \mathrm{cte}\,$

Energía cinética: la energía cinética la podemos descomponer en parte de traslación y parte de rotación. El CM describe un arco circular alrededor del punto de anclaje, a una distancia $b$ de este. Si $θ$ es el ángulo que la barra forma con la vertical

$|\vec{v}_C| = \omega r = |\dot{\theta}|b \qquad\Rightarrow\qquad K_T = \frac{1}{2}Mb^2\dot{\theta}^2$

La de rotación vale

$K_R = \frac{1}{2}I\dot{\theta}^2\qquad\qquad I = \frac{1}{12}MH^2$

La total es suma de estas dos

$K = \frac{1}{2}\left(Mb^2+I\right)\dot{\theta}^2$

Vemos que podemos calcular esta energía cinética directamente como la de una rotación en torno al punto fijo A, usando el teorema de Steiner para hallar el momento de inercia correspondiente.

Energía potencial: Si llamamos $y$ a la coordenada vertical, con $y = 0$ la altura del punto de anclaje, podemos escribir la energía potencial como

$U = m g y C = - m g b cos(θ)$

el signo negativo proviene de que por debajo de A la coordenada

y

es negativa pero el coseno es positivo.

Sumando las dos contribuciones

$E = \frac{1}{2}\left(I+Mb^2\right)\dot{\theta}^2-Mgb\cos(\theta)$

Obtenemos la ecuación de movimiento derivando esta ecuación respecto al tiempo, aplicando que

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\dot{\theta}\right)^2 = 2\dot{\theta}\,\ddot{\theta}$

y

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\cos(\theta))=-\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta}

Por tanto

No se pudo entender (Falta el ejecutable de texvc. Por favor, lea math/README para configurarlo.): 0=\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\left(I+Mb^2\right)\dot{\theta}\,\ddot{\theta}+Mgb\,\mathrm{sen}(\theta)\dot{\theta}

Despejamos de aquí la aceleración angular

$\ddot{\theta}=-\frac{Mgb}{I+Mb^2}\mathrm{sen}(\theta)$

Esta es la ecuación del péndulo compuesto, que no tiene por qué ser una barra. En el caso particular de la barra queda

$\ddot{\theta}=-\frac{12gb}{H^2+12b^2}\mathrm{sen}(\theta)$

Si además la barra está sujeta por su extremo $b = H / 2$ y

$\ddot{\theta}=-\frac{3g}{2H}\mathrm{sen}(\theta)$

En general, el periodo de oscilación de un péndulo depende de la amplitud, pero si el ángulo de desviación es pequeño

$\mathrm{sen}(\theta)\simeq \theta$

y queda la ecuación de un oscilador armónico

$\ddot{\theta}=-\frac{Mgb}{I+Mb^2}\,\theta\qquad\qquad\theta\ll 1$

siendo la frecuencia de oscilación

$\Omega = \sqrt{\frac{Mgb}{I+Mb^2}}$

y el periodo

$T = \frac{2\pi}{\Omega}=2\pi\sqrt{\frac{I+Mb^2}{Mgb}}$

que para el caso de la barra se reduce a

$T = 2\pi\sqrt{\frac{H^2+12b^2}{12gb}}$

y si está sujeta por su extremo

$T = 2\pi\sqrt{\frac{2H}{3g}}$

2.2 Analizando las fuerzas aplicadas

La barra constituye un sólido rígido sometido a dos fuerzas:

Su peso, $M\vec{g}$
La fuerza de reacción, $Φ$ ejercida por el soporte

La suma de estas dos fuerzas produce la aceleración del centro de masas

$M\vec{g}+\vec{\Phi} = M\vec{a}_C$

La suma de los momentos produce la variación del momento cinético de la partícula

$\vec{r}_C\times(M\vec{g})+\vec{r}_S\times\vec{\Phi} = \frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}$

siendo $\vec{r}_S$ la posición del soporte respecto al punto de referencia que tomemos. La fuerza de reacción es en sí misma una incógnita del problema. Podemos eliminarla de esta ecuación si elegimos como punto de referencia el propio soporte, con lo que $\vec{r}_S=\vec{0}$ .

Elegimos entonces un sistema de ejes centrado en el soporte con OX el horizontal en el plano del péndulo y OZ el vertical (OY sería perpendicular a ambos e iría hacia el interior de la figura). En este sistema, la posición del centro de masas de la barra (que está en su centro geométrico) vale

$\vec{r}_C = b\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}-b\cos(\theta)\vec{k}$

y el momento del peso

$\vec{M}_O = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ b\,\mathrm{sen}(\theta) & 0 & b\cos(\theta) \\ 0 & 0 & -Mg\end{matrix}\right| = Mgb\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}$

El momento cinético es el correspondiente a un eje permanente de rotación.

$\vec{L}_O = I_O\vec{\omega}$

siendo

$\vec{\omega}=-\dot{\theta}\vec{\jmath}$

y el momento de inercia respecto del soporte lo podemos hallar por el teorema de Steiner

$I_O = I' + Md^2 = \frac{1}{12}MH^2 + M b^2$

Derivando respecto al tiempo el momento cinético

$\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = -I_O\ddot{\theta}\vec{\jmath}$

Si igualamos esta derivada al momento de las fuerzas queda la ecuación de movimiento

$I_0\ddot{\theta}=-Mgb\,\mathrm{sen}(\theta)$

Si el ángulo de desviación es pequeño puede aproximarse el seno por su argumento y escribirse

$\ddot{\theta}=-\frac{Mgb}{I_O}\theta$

que es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia angular

$\omega = \sqrt{\frac{Mgb}{I_O}}$

a la cual corresponde un periodo

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{I_O}{Mgb}}$

Sustituyendo el valor del momento de inercia queda

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L^2}{12gb}+\frac{b}{g}}$

Vemos que el periodo es independiente de la masa de la barra, resultado conocido por análisis dimensional del problema.

El periodo sí depende de dónde se encuentra el soporte a lo largo de la barra.

Si se encuentra en el extremo $b = L / 2$ y este periodo vale

$T(b=L/2) = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}$

Este periodo es aproximadamente un 20% más corto que el del péndulo simple se la misma longitud y la misma masa.

Cuando el soporte se va situando cada vez más cerca del centro ( $b\to 0$ ) el periodo va creciendo de forma ilimitada, tendiendo a infinito para un soporte justo en el centro. Esto ocurre porque justo en esa posición el peso no provoca par alguno sobre el péndulo y no lo hace oscilar. La parra se queda en equilibrio en cualquier orientación respecto a la vertical.

3 Fuerza de reacción

Una vez que tenemos el movimiento del péndulo podemos hallar la fuerza de reacción a partir de la ecuación para la cantidad de movimiento

$\vec{\Phi} = M\vec{a}_C-M\vec{g}$

Cuando el péndulo pasa por su punto más bajo, el peso y la aceleración del CM son verticales, con lo que la fuerza de reacción también lo será.

El CM de la barra describe un arco de circunferencia de radio $b$ alrededor del soporte. En el punto más bajo su rapidez es máxima, con lo que la aceleración tangencial es nula y su aceleración es puramente normal

$\vec{a}_C = M\frac{v^2}{R}\vec{k}=Mb\dot{\theta}^2\vec{k}$

El valor máximo de $\dot{\theta}$ lo obtenemos de que la solución para el ángulo como función del tiempo es la de un oscilador armónico

$\theta(t) = \theta_0\cos(\omega t)\,$

Derivando y hallando el máximo

$\dot{\theta}=-\omega \theta_0\,\mathrm{sen}(\omega t)\qquad \dot{\theta}_\mathrm{max} = \omega \theta_0$

lo que nos da la fuerza de reacción

$\vec{\Phi} =\left(Mg+Mb\omega^2\theta_0^2\right)\vec{k} = Mg\left(1+\frac{b^2}{L^2/12+b^2}\theta_0^2\right)\vec{k}$

Un resultado exacto puede obtenerse mediante la ley de conservación de la energía.

@@ Línea 31: / Línea 31: @@
 ;Energía cinética: la energía cinética la podemos descomponer en parte de traslación y parte de rotación. El CM describe un arco circular alrededor del punto de anclaje, a una distancia <math>b</math> de este. Si <math>\theta</math> es el ángulo que la barra forma con la vertical
-<center><math>|\vec{v}_C| = \omega r = |\dot{\theta}|b = \qquad\Rightarrow\qquad K_T = \frac{1}{2}Mb^2\dot{\theta}^2</math></center>
+<center><math>|\vec{v}_C| = \omega r = |\dot{\theta}|b  \qquad\Rightarrow\qquad K_T = \frac{1}{2}Mb^2\dot{\theta}^2</math></center>
 :La de rotación vale
@@ Línea 100: / Línea 100: @@
 <center><math>T = 2\pi\sqrt{\frac{2H}{3g}}</math></center>
 ===Analizando las fuerzas aplicadas===

Péndulo compuesto

De Laplace

Revisión de 20:09 18 ene 2013

Contenido

1 Enunciado

2 Periodo

2.1 Aplicando la ley de conservación de la energía

2.2 Analizando las fuerzas aplicadas

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