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Asociación de cuatro condensadores GIA

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Solución)
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<center><math>-Q_1+Q_3=0\quad\Longrightarrow\quad Q_1=Q_3=Q_\mathrm{a}</math></center>
<center><math>-Q_1+Q_3=0\quad\Longrightarrow\quad Q_1=Q_3=Q_\mathrm{a}</math></center>
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que será la cantidad de carga almacenada en uno de los conductores del condensador equivalente a la asociación, y que coincide físicamente con el conductor no conectado del condensandor <math>C_1</math>. Por su parte, el conductor no conectado del condensador <math>C_3</math> almacenará una cantidad de carga <math>-Q_3=-Q_1=-Q_\mathrm{a}</math>, constituyendo el otro conductor del condesador equivalente. Si el conductor aislado y descargado, resultante de la conexión en <math>C</math> de los condensadores <math>C_1</math> y <math>C_3</math>, se encuentra a un valor de potencial <math>V_C</math>, se tendrá que:
+
que será la cantidad de carga almacenada en uno de los conductores del condensador equivalente a la asociación, y que coincide físicamente con el conductor no conectado del condensandor <math>C_1</math>. Por su parte, el conductor no conectado del condensador <math>C_3</math> almacenará una cantidad de carga <math>-Q_3=-Q_1=-Q_\mathrm{a}</math>, constituyendo el otro conductor del condesador equivalente. Considerando que el conductor aislado y descargado, resultante de la conexión en <math>C</math> de los condensadores <math>C_1</math> y <math>C_3</math>, se encuentra a un valor de potencial <math>V_C</math>, se tendrá que:
-
<center><math>V_A-V_B=(V_A-V_C)+(V_C-V_B)=\frac{Q_\mathrm{1}}{C_1}+\frac{Q_\mathrm{3}}{C_3}=Q_\mathrm{a}\!\ \left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}\right)</math></center>
+
<center><math>\left.\begin{array}{l}\displaystyle V_A-V_B=(V_A-V_C)+(V_C-V_B)=\frac{Q_\mathrm{1}}{C_1}+\frac{Q_\mathrm{3}}{C_3}=Q_\mathrm{a}\!\ \left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}\right)\\ \\
 +
\displaystyle V_A-V_B=\frac{Q_\mathrm{a}}{C_\mathrm{a}}\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\;\;\frac{1}{C_\mathrm{a}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}=
 +
\frac{4}{3}\ (\mu\mathrm{F})^{-1}</math></center>
-
Y si utilizamos ahora la relación carga potencial para el condensador equivalente, obtenemos el valor de la capacidad eléctrica de la asociación:
+
Y a partir del valor de la capacidad de la asociación en serie, obtenemos la cantidad de carga eléctrica en los condensadores de dicha asociación cuando se encuentra a una diferencia de potencial de <math>12\,\mathrm{V}</math>:
-
<center><math>\frac{Q_\mathrm{a}}{C_\mathrm{a}}=V_A-V_B=Q_\mathrm{a}\!\ \left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}\right)\quad \Longrightarrow\quad\frac{1}{C_\mathrm{a}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}=
+
<center><math>Q_1=Q_3=Q_\mathrm{a}=C_\mathrm{a}(V_A-V_B)=9\,\mu\mathrm{C}
-
\frac{4}{3}\ (\mu\mathrm{F})^{-1}\quad\Longrightarrow\quad Q_1=Q_3=Q_\mathrm{a}=C_\mathrm{a}(V_A-V_B)=9\,\mu\mathrm{C}
+
</math></center>
</math></center>
-
 
-
De estas relaciones se obtiene tanto la capacidad del condensador equivalente como la cantidad de carga eléctrica almancenada en dicho condensador y en cada uno de los condesandores que forma la asociación:
 
-
 
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<center><math></math></center>
 
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Revisión de 19:35 1 abr 2012

1 Enunciado

El circuito de la figura está formado por cuatro condensadores cuyas capacidades son: C_1=1\,\mu\mathrm{F}, C_2=2\,\mu\mathrm{F}, C_3=3\,\mu\mathrm{F} y C_4=4\,\mu\mathrm{F}. La diferencia de potencial entre A y B es de 12\,\mathrm{V}. Calcular la carga de cada condensador.

 

 

 

2 Solución

Los condensadores C1 y C3, y por otro lado C2 y C4, forman sendas asociaciones en serie que, a su vez, están conectadas en paralelo, de manera que ambas asociaciones estarán simultáneamente a la misma diferencia de potencial V_A-V_B=12\,\mathrm{V}\,. Nótese que VA es el valor del potencial en sendos conductores de los condensadores C1 y C2 que son equipotenciales. Análogamente, VB es el potencial de los conductores de los condensadores C3 y C4 que están conectado y tendrán siempre el mismo valor de potencial. Así, si Ca y Cb son las capcidades equivalentes de las asociaciones C1 y C3, y C2 y C4, respectivamente, se tendrá que:

V_A-V_B=\frac{Q_\mathrm{a}}{C_\mathrm{a}}=\frac{Q_\mathrm{b}}{C_\mathrm{b}}

Fijémonos en la asociación de C1 y C3: éstos forman un condensador en serie cuando los conductores interconectados de C1 y C3 (punto C), constituyen un único conductor aislado y descargado. Por tanto, si \pm Q_1 y \pm Q_3 son las cargas almacenadas en los conductores de dicho condensadores, se debe cumplir:

-Q_1+Q_3=0\quad\Longrightarrow\quad Q_1=Q_3=Q_\mathrm{a}

que será la cantidad de carga almacenada en uno de los conductores del condensador equivalente a la asociación, y que coincide físicamente con el conductor no conectado del condensandor C1. Por su parte, el conductor no conectado del condensador C3 almacenará una cantidad de carga − Q3 = − Q1 = − Qa, constituyendo el otro conductor del condesador equivalente. Considerando que el conductor aislado y descargado, resultante de la conexión en C de los condensadores C1 y C3, se encuentra a un valor de potencial VC, se tendrá que:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle V_A-V_B=(V_A-V_C)+(V_C-V_B)=\frac{Q_\mathrm{1}}{C_1}+\frac{Q_\mathrm{3}}{C_3}=Q_\mathrm{a}\!\ \left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}\right)\\ \\ \displaystyle V_A-V_B=\frac{Q_\mathrm{a}}{C_\mathrm{a}}\end{array}\right\}\;\;\Longrightarrow\;\;\frac{1}{C_\mathrm{a}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_3}= \frac{4}{3}\ (\mu\mathrm{F})^{-1}

Y a partir del valor de la capacidad de la asociación en serie, obtenemos la cantidad de carga eléctrica en los condensadores de dicha asociación cuando se encuentra a una diferencia de potencial de 12\,\mathrm{V}:

Q_1=Q_3=Q_\mathrm{a}=C_\mathrm{a}(V_A-V_B)=9\,\mu\mathrm{C}

 

Archivo:cuatro_cond_1.gif

En la asociación de C2 y C4 ocurre algo similar: el conductor resultante de la conexión en D también estará aislado y descargado, y a un valor del potencial VD. Se tendrá, pues,

\begin{array}{c}\displaystyle -Q_2+Q_4=0\quad\Longrightarrow\quad Q_2=Q_4=Q_\mathrm{b}\\ \\ \displaystyle \frac{Q_\mathrm{b}}{C_\mathrm{b}}=V_A-V_B=(V_A-V_D)+(V_D-V_B)=\frac{Q_\mathrm{2}}{C_2}+\frac{Q_\mathrm{4}}{C_4}=Q_\mathrm{b}\!\ \left(\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_4}\right)\end{array}

A partir de estas relaciones determinamos la carga electrica en la segunda asociación:

\frac{1}{C_\mathrm{b}}=\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_4}= \frac{3}{4}\ (\mu\mathrm{F})^{-1}\quad\Longrightarrow\quad Q_2=Q_4=Q_\mathrm{b}=C_\mathrm{b}(V_A-V_B)=16\,\mu\mathrm{C}
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