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Mezcla de hielo y vapor de agua

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Enunciado)
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==Enunciado==
==Enunciado==
En un recipiente a presión constante de 101.3 kPa, se ponen en contacto 1.0 m³ de vapor de agua a 115 °C con 500 g de hielo a −10 °C. Determine la temperatura final del sistema.
En un recipiente a presión constante de 101.3 kPa, se ponen en contacto 1.0 m³ de vapor de agua a 115 °C con 500 g de hielo a −10 °C. Determine la temperatura final del sistema.
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Calcule la variación de entropía en el proceso.
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==Solución==
==Solución==
Al poner en contacto las dos fases se producirá un flujo de calor desde el vapor al hielo. Uno se irá enfriando a medida que el otro se calienta, quedando el sistema en un estado final en que ambos subsistemas tienen la misma temperatura.
Al poner en contacto las dos fases se producirá un flujo de calor desde el vapor al hielo. Uno se irá enfriando a medida que el otro se calienta, quedando el sistema en un estado final en que ambos subsistemas tienen la misma temperatura.

Revisión de 18:34 23 mar 2012

1 Enunciado

En un recipiente a presión constante de 101.3 kPa, se ponen en contacto 1.0 m³ de vapor de agua a 115 °C con 500 g de hielo a −10 °C. Determine la temperatura final del sistema.

Calcule la variación de entropía en el proceso.

2 Solución

Al poner en contacto las dos fases se producirá un flujo de calor desde el vapor al hielo. Uno se irá enfriando a medida que el otro se calienta, quedando el sistema en un estado final en que ambos subsistemas tienen la misma temperatura.

Suponemos de entrada que el estado final será un punto intermedio en el que las dos fases se encuentran en el estado de agua líquida.

Para convertir el hielo en agua a una temperatura T es necesario proporcionar un calor

Q_1 = m_hc_h(T_f-T_h) + m_h \,\Delta h_f + m_h c_a(T-T_f)

donde:

  • el primer término, mhch(Tf − Th), representa el calor necesario para llevar el hielo desde su temperatura inicial, Th a la temperatura de fusión Tf-
  • el segundo término, m_h \,\Delta h_f, es el calor preciso para fundir el hielo
  • el tercer término, mhca(T − Tf), es el calor que hace falta para elevar la temperatura del agua desde el punto de fusión hasta la temperatura final.

De la misma manera, para el enfriamiento del vapor escribimos

Q_2 = m_v c_{va}(T_b-T_v)-m_v\,\Delta h_b+m_v c_a(T-T_b)

siendo Tb la temperatura de ebullición del agua. Los valores numéricos que usaremos para las constantes son, para los calores específicos

c_h = 2.11\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{kg}}\qquad\qquad c_a = 4.18\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{kg}}\qquad\qquad c_{va} = 2.09\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{kg}}

y para las entalpías de cambio de fase

\Delta h_f = 334\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\qquad\qquad \Delta h_b = 2257\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}

Las temperaturas que aparecen en las fórmulas anteriores valen

T_h = -10\,^\circ\mathrm{C} = 263\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_f = 373\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_b = 373\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_v = 115\,^\circ\mathrm{C}=388\,\mathrm{K}

La masa de vapor de agua la calculamos a partir de su presión, volumen y temperatura

n = \frac{pV}{RT_v} \qquad\Rightarrow\qquad m_v = P_m\frac{pV}{RT_v}

siendo

P_m = 18\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}}

el peso molecular del agua. Esto nos da la masa

m_v = \frac{18\times 101300\times 1.0}{8.314\times 388}\,\mathrm{g}=565\,\mathrm{g} = 0.565\,\mathrm{kg}

Con estos datos obtenemos los siguientes calores:

Calentamiento del hielo
Q_{1a} = m_hc_h(T_f-T_h) =0.5\times 2.11\times(273-263)\,\mathrm{kJ}= 10.6\,\mathrm{kJ}
Fusión del hielo
Q_{1b} = m_h\,\Delta h_f = 0.5\times 334\,\mathrm{kJ} = 167\,\mathrm{kJ}
Calentamiento del agua fría
Estando la temperatura expresada en kelvins
Q_{1c} = m_h\,c_a(T-T_f) = 0.5\times 4.18\times(T-273)\,\mathrm{kJ} = 2.09(T-273)\,\mathrm{kJ}
Enfriamiento del vapor
Q_{2a} = m_v c_{va}(T_b-T_v) = 0.565\times 2.09\times(373-388)\,\mathrm{kJ}=-17.7\,\mathrm{kJ}
Licuación del vapor
Q_{2b} = -m_v\,\Delta h_b = -0.565\times 2257\,\mathrm{kJ} = -1276\,\mathrm{kJ}
Enfriamiento del agua caliente
Q_{2c} = m_v\,c_a(T-T_b) = 0.565\times 4.18\times(T-373)\,\mathrm{kJ} = 2.36(T-373)\,\mathrm{kJ}

Llevando todo esto a la ecuación

Q_1 + Q_2 =0\,

nos queda la ecuación para la temperatura

10.6+167+2.09(T-273)-17.7-1276+2.36(T-373)=0\qquad\Rightarrow\qquad T = 577\,\mathrm{K}

pero este resultado es absurdo. No es posible que la temperatura final del sistema sea mucho mayor que las dos de partidas (mucho mayor en este caso) y además incompatible con la hipótesis de que el estado final es agua (que debe estar entre 273 y 373 kelvin).

No es posible, por tanto, que el estado final sea todo agua a una temperatura intermedia.

Lo que ocurre realmente es que , puesto que la entalpía de ebullición del agua es muy elevada, solo con licuar una parte del vapor ya es suficiente para llevar el hielo al estado de agua a 100°C. Una vez ahí, ya se ha alcanzado el equilibrio térmico entre agua a 100°C y vapor de agua a la misma temperatura.

La incógnita entonces es saber cuánta masa de vapor se licúa. El cálculo es ahora

Calentamiento del hielo
Q_{1a} = m_hc_h(T_f-T_h) =0.5\times2.11\times(273-263)\,\mathrm{kJ}= 10.6\,\mathrm{kJ}
Fusión del hielo
Q_{1b} = m_h\,\Delta h_f = 0.5\times 334\,\mathrm{kJ} = 167\,\mathrm{kJ}
Calentamiento del agua fría hasta los 100°C
Q_{1c} = m_h\,c_a(T_b-T_f) = 0.5\times 4.18\times(373-273)\,\mathrm{kJ} = 209\,\mathrm{kJ}
Enfriamiento del vapor
Q_{2a} = m_v c_{va}(T_b-T_v) = 0.565\times 2.09\times(373-388)\,\mathrm{kJ}=-17.7\,\mathrm{kJ}
Licuación parcial del vapor
Q_{2b} = -m\,\Delta h_b = -2257m\,\mathrm{kJ}

y nos queda ahora la ecuación

10.6+167+209-17.7-2257m=0\qquad\Rightarrow\qquad m = 0.163\,\mathrm{kg} = 163\,\mathrm{g}

es decir, de los 565 gramos de vapor solo se licúan 163. El resto permanece en estado de vapor. En el estado final tenemos un equilibrio térmico a 100°C en el que hay 663 g en forma de agua y 402 en forma de vapor.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Mezcla_de_hielo_y_vapor_de_agua"

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