Calor que escapa del cuerpo humano

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 13:40 27 feb 2012

1 Enunciado

Determine la cantidad de calor que escapa por cm² de piel del cuerpo humano si la piel se encuentra a 33 °C y el aire exterior se encuentra a 15 °C, estando el cuerpo cubierto por una sábana de algodón de 1 mm de espesor. ¿Y si además de la sábana está tapado con una manta de lana de 5 mm de espesor? La conductividad térmica de la lana es 0.03 W/m·K y la del algodón 0.04 W/m·K.

2 Solo una sábana

El flujo de calor a través de un medio sólido cumple la ley de Fourier

$\dot{Q} = -kA\frac{\Delta T}{\Delta x}$

siendo $k$ la conductividad térmica, $A$ el área del material, $Δ x$ su espesor y $Δ T$ la diferencia de temperaturas entre las dos caras.

En el caso de una sábana de algodón

$\Delta T = 18\,\mathrm{K}\qquad \Delta x = 0.001\,\mathrm{m}\qquad A = 10^{-4}\mathrm{m}^2\qquad k = 0.04\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}}$

lo que nos da

$\dot{Q}=-0.04\times 10^{-4}\frac{18}{0.001}\,\mathrm{W}=0.07\,W$

Esta cantidad parece pequeña, pero hay que considerar que se refiere a solo 1 cm² de piel. Cuando se considera toda la superficie que queda expuesta, se obtiene un flujo de calor muy importante, que debe ser compensado por el metabolismo.

3 Una sábana y una manta

Cuando tenemos dos capas puesta una a continuación de la otra se cumple

$\dot{Q}_1 = -k_1A\frac{\Delta T_1}{\Delta x_1}\qquad\qquad \dot{Q}_2 = -k_2A\frac{\Delta T_2}{\Delta x_2}$

Las diferencias de temperaturas no son la misma en las dos capas. En la sábana será la diferencia entre la temperatura de la piel y la de contacto con la manta y en la manta entre el punto de contacto con la sabana y la temperatura exterior. Si $T m$ es la temperatura en el punto de contacto

$\Delta T_1 = T_1-T_m\qquad\qquad \Delta T_2 = T_m-T_2$

cumpliéndose que los 18 K es la diferencia entre los extremos

Δ T = T 1 - T 2 = (T 1 - T m) + (T m - T 2) = Δ T 1 + Δ T 2

El flujo de calor, en cambio, sí es el mismo en las dos capas, ya que todo el calor que sale del cuerpo termina fluyendo hacia el exterior

$\dot{Q}_1=\dot{Q}_2=\dot{Q}$

Podemos relacionar este flujo de calor con la diferencia total de temperaturas despejando

$\Delta T_1 = -\frac{\Delta x_1}{k_1A}\dot{Q}\qquad\qquad \Delta T_2 = -\frac{\Delta x_2}{k_2A}\dot{Q}$

y sumando

$\Delta T = \Delta T_1+\Delta T_2 = -\left(\frac{\Delta x_1}{k_1A}+\frac{\Delta x_2}{k_2A}\right)\dot{Q}$

y obtenemos finalmente

$\dot{Q}=\left(\frac{\Delta x_1}{k_1A}+\frac{\Delta x_2}{k_2A}\right)^{-1}\Delta T$

Se llamamos resistencia térmica a los factores

$R = \frac{\Delta x}{kA}$

que miden la oposición al paso de calor. Para la sábana

$R_1 = \frac{\Delta x_1}{k_1A} = \frac{0.001}{0.04\times 10^{-4}}\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}=250\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}$

y para la manta obtenemos un valor mucho mayor

$R_2 = \frac{\Delta x_2}{k_2A} = \frac{0.005}{0.03\times 10^{-4}}\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}=1667\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}$

La ecuación anterior nos dice que la resistencia térmica total es la suma de las dos individuales

$R_T = R_1 + R_2 = 1917\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}$

Resulta en este caso el flujo de calor

$\dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_T} = 0.009\,\mathrm{W}=9\,\mathrm{mW}$

@@ Línea 25: / Línea 25: @@
 Las diferencias de temperaturas no son la misma en las dos capas. En la sábana será la diferencia entre la temperatura de la piel y la de contacto con la manta y en la manta entre el punto de contacto con la sabana y la temperatura exterior. Si <math>T_m</math> es la temperatura en el punto de contacto
+<center>
-<math>\Delta T_1 = T_1-T_m\qquad\qquad \Delta T_2 = T_m-T_2</math>
+<math>\Delta T_1 = T_1-T_m\qquad\qquad \Delta T_2 = T_m-T_2</math></center>
 cumpliéndose que los 18 K es la diferencia entre los extremos
 <center><math>\Delta T = T_1 - T_2 = (T_1-T_m)+(T_m-T_2) = \Delta T_1 + \Delta T_2</math></center>
+El flujo de calor, en cambio, sí es el mismo en las dos capas, ya que todo el calor que sale del cuerpo termina fluyendo hacia el exterior
+<center><math>\dot{Q}_1=\dot{Q}_2=\dot{Q}</math></center>
+Podemos relacionar este flujo de calor con la diferencia total de temperaturas despejando
+<center><math>\Delta T_1 = -\frac{\Delta x_1}{k_1A}\dot{Q}\qquad\qquad \Delta T_2 = -\frac{\Delta x_2}{k_2A}\dot{Q}</math></center>
+y sumando
+<center><math>\Delta T = \Delta T_1+\Delta T_2 = -\left(\frac{\Delta x_1}{k_1A}+\frac{\Delta x_2}{k_2A}\right)\dot{Q}</math></center>
+y obtenemos finalmente
+<center><math>\dot{Q}=\left(\frac{\Delta x_1}{k_1A}+\frac{\Delta x_2}{k_2A}\right)^{-1}\Delta T</math></center>
+Se llamamos resistencia térmica a los factores
+<center><math>R = \frac{\Delta x}{kA}</math></center>
+que miden la oposición al paso de calor. Para la sábana
+<center><math>R_1 = \frac{\Delta x_1}{k_1A} = \frac{0.001}{0.04\times 10^{-4}}\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}=250\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}</math></center>
+y para la manta obtenemos un valor mucho mayor
+<center><math>R_2 = \frac{\Delta x_2}{k_2A} = \frac{0.005}{0.03\times 10^{-4}}\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}=1667\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}</math></center>
+La ecuación anterior nos dice que la resistencia térmica total es la suma de las dos individuales
+<center><math>R_T = R_1 + R_2 = 1917\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}</math></center>
+Resulta en este caso el flujo de calor
+<center><math>\dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_T} = 0.009\,\mathrm{W}=9\,\mathrm{mW}</math></center>
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