Tres cargas en un triángulo equilátero
De Laplace
(Nueva página: ==Enunciado== Tres cargas <math>q_1</math>, <math>q_2</math> y <math>q_3</math>, se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de lado <math>a = 1\mathrm{cm}</math>. Det...) |
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==Solución== | ==Solución== | ||
| + | En cada caso, la fuerza sobre cada carga es la suma vectorial de las fuerzas que cada una de las otras cargas producen sobre ella. | ||
| + | <center><math>\mathbf{F}_i = \sum_{k\neq i} \mathbf{F}_{ik}</math></center> | ||
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| + | A su vez, la fuerza entre dos cargas viene dada por la ley de Coulomb | ||
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| + | <center><math>\mathbf{F}_{21} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1q_2}{d_{12}^2}\mathbf{u}_{12}</math></center> | ||
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| + | ===Cargas iguales y positivas=== | ||
| + | En el primer caso, por la simetría del sistema, es evidente que las tres cargas van a estar sometidas a una fuerza de la misma magnitud (aunque de dirección y sentido distinto; esto es, las tres cargas ''no'' experimentan la misma fuerza). | ||
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| + | A su vez la fuerza entre cada par de cargas tiene la misma magnitud, ya que las cargas son todas iguales, y también lo son las distancias entre ellas | ||
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| + | <center><math>F_{ik}=\left|\mathbf{F}_{ik}\right| = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 a^2}</math></center> | ||
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| + | Para hallar la resultante sobre una de las cargas (a la que llamaremos “3”) observamos que <math>\mathbf{F}_{31}</math> y <math>\mathbf{F}_{32}</math> se encuentran sobre los lados de un rombo, formando un ángulo de <math>\pi/6</math> con su diagonal, que a su vez va en la dirección de la línea que pasa por el centro del triángulo y por la carga 3. La resultante viene dada por esta diagonal y tiene por módulo | ||
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| + | <center><math>F_3 = 2F_{ik}\cos\left(\frac{pi}{6}\right) = \sqrt{3}F_{ik} = \frac{\sqrt{3}q^2}{4\pi\varepsilon_0 a^2}</math></center> | ||
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| + | en cuanto a su dirección y sentido, va en la dirección radial desde el centro de la carga. | ||
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| + | Este razonamiento es válido para cada una de las cargas del triángulo. Las tres fuerzas tienen el mismo módulo y su dirección y sentido son radiales hacia afuera del triángulo. | ||
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| + | Puede comprobarse que la suma vectorial de las tres fuerzas es nula, tanto geométricamente como analíticamente | ||
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| + | <center><math>\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2+\mathbf{F}_3 = \left(\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{13}\right) + \left(\mathbf{F}_{21}+\mathbf{F}_{23}\right) + \left(\mathbf{F}_{31}+\mathbf{F}_{32}\right) = \left(\mathbf{F}_{12}+\mathbf{F}_{21}\right) + \left(\mathbf{F}_{13}+\mathbf{F}_{31}\right) + \left(\mathbf{F}_{23}+\mathbf{F}_{32}\right) = \mathbf{0} + \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}</math></center> | ||
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| + | ===Cargas iguales y negativas=== | ||
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| + | ===Cargas de la misma magnitud y distinto signo=== | ||
| + | ===Cargas de diferente magnitud y signo=== | ||
[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]] | [[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]] | ||
Revisión de 09:44 28 nov 2008
Contenido |
1 Enunciado
Tres cargas q1, q2 y q3, se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero de lado a = 1cm. Determine la fuerza sobre cada carga cuando:
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- ,
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2 Solución
En cada caso, la fuerza sobre cada carga es la suma vectorial de las fuerzas que cada una de las otras cargas producen sobre ella.
A su vez, la fuerza entre dos cargas viene dada por la ley de Coulomb
2.1 Cargas iguales y positivas
En el primer caso, por la simetría del sistema, es evidente que las tres cargas van a estar sometidas a una fuerza de la misma magnitud (aunque de dirección y sentido distinto; esto es, las tres cargas no experimentan la misma fuerza).
A su vez la fuerza entre cada par de cargas tiene la misma magnitud, ya que las cargas son todas iguales, y también lo son las distancias entre ellas
Para hallar la resultante sobre una de las cargas (a la que llamaremos “3”) observamos que 
y 
se encuentran sobre los lados de un rombo, formando un ángulo de π / 6 con su diagonal, que a su vez va en la dirección de la línea que pasa por el centro del triángulo y por la carga 3. La resultante viene dada por esta diagonal y tiene por módulo
en cuanto a su dirección y sentido, va en la dirección radial desde el centro de la carga.
Este razonamiento es válido para cada una de las cargas del triángulo. Las tres fuerzas tienen el mismo módulo y su dirección y sentido son radiales hacia afuera del triángulo.
Puede comprobarse que la suma vectorial de las tres fuerzas es nula, tanto geométricamente como analíticamente
