Rodadura por una pendiente

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 17:30 14 ene 2012

1 Enunciado

En lo alto de un plano inclinado de altura 1.2 m y con una pendiente del 75% se encuentran los siguientes objetos, todos ellos de masa 0.5 kg y radio 10 cm:

Una superficie cilíndrica hueca
Un cilindro macizo
Una superficie esférica hueca
Una esfera maciza

Si se sueltan a la vez desde el extremo superior del plano, ¿con qué velocidad llega cada uno al punto más bajo del plano? ¿en qué orden llegarán y cuanto tarda cada uno en llegar? Si además se suelta un bloque de 0.5 kg que desliza sin rozamiento por el plano, ¿llegará antes o después que los objetos rodantes? ¿Cuánto?

2 Solución

Este problema se resuelve de forma sencilla aplicando la ley de conservación de la energía mecánica. Cuando se encuentran en reposo en el punto más alto del plano, cada uno de los cuerpos posee una energía mecánica igual a su energía potencial, medida desde el punto más bajo del plano, de

$E=U_i = mgz_C = mg(H+R)\,$

Al descender por el plano, parte de esta energía potencial se transforma en energía cinética. Por tratarse de cuatro sólidos con simetría de revolución, la energía mecánica final puede escribirse

$E=\frac{1}{2}m|\vec{v}_C|^2 + \frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2 + mgR$

Puesto que la energía mecánica se conserva, estas dos cantidades deben ser iguales y por tanto

$\frac{1}{2}m|\vec{v}_C|^2 + \frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2 = mgH$

Esta ecuación se interpreta como que la energía potencial se va en parte en energía cinética de traslación y en energía cinética de rotación. Puesto que lo que determina cuál llega en menos tiempo al punto más bajo es la velocidad del CM, se deduce que el ganador de la competición será el que tenga menos energía cinética de rotación. Esto dependerá esencialmente de su momento de inercia.

Para los cuatro cuerpos en cuestión, el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el CM es de la forma

$I = \gamma m R^2\,$

donde $γ$ vale

Cuerpo	Cilindro hueco	Cilindro macizo	Esfera hueca	Esfera maciza
$\gamma\,$	$1\,$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{5}$

La velocidad angular con la que rueda cada uno nos la da el que el CIR se encuentra en el punto de contacto del cuerpo con el suelo y por tanto el CM de cada uno se encuentra describiendo un movimiento de rotación en torno a este punto, situado a una distancia R. Por tanto, la velocidad del CM cumple, en cada caso

$|\vec{v}_C| = |\vec{\omega}|R$

lo que, llevado a la ley de conservación de la energía mecánica, nos da

$\frac{1}{2}\left(1+\gamma\right)|\vec{v}_C|^2 = gH$

y esto nos da la velocidad de llegada

$|\vec{v}_C|=\sqrt{\frac{2gH}{1+\gamma}}$

Vemos que el resultado es independiente de la masa y del radio del cuerpo (y de la pendiente del plano). Lo único que necesitamos conocer es la altura del plano y la forma del objeto. Cuanto mayor sea el factor $γ$ más lento llega el cuerpo. dado que se cumple

$\frac{2}{5} <\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < 1$

El orden de llegada será

Esfera maciza
Cilindro macizo
Esfera hueca
Cilindro hueco

Antes que todos ellos llegaría un bloque que deslizara sin fricción por el plano, ya que para este cuerpo toda la energía potencial se convierte en energía cinética de traslación. Para un cuerpo que desliza la velocidad final vale

$v_d = \sqrt{2gH} = 4.85\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

La rapidez de llegada de los cuatro cuerpos rodantes es

Esfera maciza

$\gamma = \frac{2}{5}\qquad\qquad v_{em} = \sqrt{\frac{1}{1+2/5}}v_d = \sqrt{\frac{5}{7}}v_d = (84.5\%)v_d = 4.10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Cilindro macizo

$\gamma = \frac{1}{2}\qquad\qquad v_{cm} = \sqrt{\frac{1}{1+1/2}}v_d = \sqrt{\frac{2}{3}}v_d = (81.6\%)v_d = 3.96\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Esfera hueca

$\gamma = \frac{2}{3}\qquad\qquad v_{eh} = \sqrt{\frac{1}{1+2/3}}v_d = \sqrt{\frac{3}{5}}v_d = (84.5\%)v_d = 4.10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Cilindro macizo

$\gamma = 1\qquad\qquad v_{eh} = \sqrt{\frac{1}{1+1}}v_d = \sqrt{\frac{1}{2}}v_d = (70.7\%)v_d = 3.43\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

@@ Línea 23: / Línea 23: @@
 Esta ecuación se interpreta como que la energía potencial se va en parte en energía cinética de traslación y en energía cinética de rotación. Puesto que lo que determina cuál llega en menos tiempo al punto más bajo es la velocidad del CM, se deduce que el ganador de la competición será el que tenga menos energía cinética de rotación. Esto dependerá esencialmente de su momento de inercia.
+Para los cuatro cuerpos en cuestión, el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el CM es de la forma
+<center><math>I = \gamma m R^2\,</math></center>
+donde <math>\gamma</math> vale
+{| class="bordeado"
+|-
+! Cuerpo
+! Cilindro hueco
+! Cilindro macizo
+! Esfera hueca
+! Esfera maciza
+|-
+! <math>\gamma\,</math>
+| <math>1\,</math>
+| <math>\frac{1}{2}</math>
+| <math>\frac{2}{3}</math>
+| <math>\frac{2}{5}</math>
+|}
 La velocidad angular con la que rueda cada uno nos la da el que el CIR se encuentra en el punto de contacto del cuerpo con el suelo y por tanto el CM de cada uno se encuentra describiendo un movimiento de rotación en torno a este punto, situado a una distancia R. Por tanto, la velocidad del CM cumple, en cada caso
@@ Línea 49: / Línea 70: @@
 Antes que todos ellos llegaría un bloque que deslizara sin fricción por el plano, ya que para este cuerpo toda la energía potencial se convierte en energía cinética de traslación. Para un cuerpo que desliza la velocidad final vale
-v_d = \sqrt{2gH} = \sqrt{2
+<center><math>v_d = \sqrt{2gH} = 4.85\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
-La rapidez con la que llega cada una es proporcional a la velocidad que tendría un cuerpo que deslizara
-<center><math>\frac{1}{2}\left(m+\frac{I}{R^2}\right)|\vec{v}_C|^2 = mgH</math></center>
+La rapidez de llegada de los cuatro cuerpos rodantes es
-Para los cuatro cuerpos en cuestión, el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el CM es de la forma
+;Esfera maciza:
-<center><math>I = \gamma m R^2\,</math></center>
+<center><math>\gamma = \frac{2}{5}\qquad\qquad v_{em} = \sqrt{\frac{1}{1+2/5}}v_d = \sqrt{\frac{5}{7}}v_d = (84.5\%)v_d = 4.10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
-donde <math>\gamma</math> vale
+;Cilindro macizo:
-{| class="bordeado"
+<center><math>\gamma = \frac{1}{2}\qquad\qquad v_{cm} = \sqrt{\frac{1}{1+1/2}}v_d = \sqrt{\frac{2}{3}}v_d = (81.6\%)v_d = 3.96\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
-|-
-! Cuerpo
+;Esfera hueca:
-! Cilindro hueco
-! Cilindro macizo
+<center><math>\gamma = \frac{2}{3}\qquad\qquad v_{eh} = \sqrt{\frac{1}{1+2/3}}v_d = \sqrt{\frac{3}{5}}v_d = (84.5\%)v_d = 4.10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
-! Esfera hueca
-! Esfera maciza
+;Cilindro macizo:
-|-
-! <math>\gamma\,</math>
+<center><math>\gamma = 1\qquad\qquad v_{eh} = \sqrt{\frac{1}{1+1}}v_d = \sqrt{\frac{1}{2}}v_d = (70.7\%)v_d = 3.43\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
-| <math>1\,</math>
-| <math>\frac{1}{2}</math>
-| <math>\frac{2}{3}</math>
-| <math>\frac{2}{5}</math>
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