Rodadura y pivotamiento de una pelota

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 08:05 12 ene 2012

Contenido

1 Enunciado
2 Velocidades angulares
3 Velocidad del centro
4 Posición del EIR

1 Enunciado

Una pelota de radio $R$ rueda y pivota sin deslizar sobre el plano horizontal $z = 0$ , de forma que las velocidades de los puntos $\vec{r}_1=(\vec{\imath}+\vec{k})R$ y $\vec{r}_2=(-\vec{\imath}+\vec{k})R$ valen respectivamente $\vec{v}_1=(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k})v_0$ y $\vec{v}_2=(2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+2\vec{k})v_0$ .

Determine la velocidad angular de rodadura y la de pivotamiento.
Halle la velocidad del centro de la bola.
Determine la ecuación del eje instantáneo de rotación.

2 Velocidades angulares

Conocemos la velocidad de tres puntos del sólido: las dos que nos da explícitamente y la velocidad del punto de contacto de la bola con el suelo (el origen de coordenadas). Puesto que nos dicen que rueda y pivota, pero no desliza, la velocidad de dicho punto es nula

$\vec{r}_0=\vec{0}\qquad\qquad \vec{v}_0 = \vec{0}$

Podemos hallar la velocidad resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. Suponemos una velocidad angular desconocida

$\vec{\omega} = \omega_x\vec{\imath}+\omega_y\vec{\jmath}+\omega_z\vec{k}$

y aplicando la expresión del campo de velocidades respecto al punto O.

$\vec{r}_1 = \overbrace{\vec{v}_0}^{=\vec{0}}+vec{\omega}\times\vec{r}_1\qquad\qquad \vec{v}_2=\vec{\omega}\times\vec{r}_2$

Aplicando esto al primer punto

$\vec{v}_1=(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k})v_0 = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ R & 0 & R\end{matrix}\right| = \omega_yR\vec{\imath}+(\omega_z-\omega_x)R\vec{\jmath}-\omega_yR\vec{k}$

Igualando los dos vectores componente a componente

$\left\{\begin{array}{rcl} 2v_0 & = & \omega_y R \\ v_0 & = & (\omega_z-\omega_x)R \\ -2v_0 & = & -\omega_y R\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad \omega_y = \frac{2v_0}{R}$

Para obtener las otras dos componentes precisamos, además de la ecuación que ya tenemos, la correspondiente al tercer punto

$\vec{v}_1=(2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+2\vec{k})v_0 = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ -R & 0 & R\end{matrix}\right| = \omega_yR\vec{\imath}-(\omega_z+\omega_x)R\vec{\jmath}+\omega_yR\vec{k}$

Llegamos así al sistema

$\left\{\begin{array}{rcl} \omega_z-\omega_x & = & \displaystyle \frac{v_0}{R} \\ & \\ \omega_z+\omega_x & = & \displaystyle -\frac{3v_0}{R}\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad \omega_x= -\frac{2v_0}{R}\qquad\omega_z = -\frac{v_0}{R}$

Reuniendo las tres componentes obtenemos el vector velocidad angular

$\vec{\omega} = \left(-2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-\vec{k}\right)\frac{v_0}{R}$

Esta velocidad angular es suma de la de pivotamiento y la de rodadura.

Velocidad angular de pivotamiento: es la componente perpendicular al plano de contacto

$\vec{\omega}_p = -\frac{v_0}{R}\vec{k}$

Velocidad angular de rodadura: es la parte paralela a la superficie de contacto.

$\vec{\omega} = \left(-2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\frac{v_0}{R}$

3 Velocidad del centro

4 Posición del EIR

@@ Línea 37: / Línea 37: @@
 Reuniendo las tres componentes obtenemos el vector velocidad angular
-<center><math>\vec{\omega} = \left(-2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-\vec{k})\frac{v_0}{R}</math></center>
+<center><math>\vec{\omega} = \left(-2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-\vec{k}\right)\frac{v_0}{R}</math></center>
 Esta velocidad angular es suma de la de pivotamiento y la de rodadura.
@@ Línea 47: / Línea 47: @@
 ;Velocidad angular de rodadura: es la parte paralela a la superficie de contacto.
-<center><math>\vec{\omega} = \left(-2\vec{\imath}+2\vec{\jmath})\frac{v_0}{R}</math></center>
+<center><math>\vec{\omega} = \left(-2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\frac{v_0}{R}</math></center>
 ==Velocidad del centro==
 ==Posición del EIR==
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Rodadura y pivotamiento de una pelota

De Laplace

Revisión de 08:05 12 ene 2012

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3 Velocidad del centro

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