Propulsión a reacción (GIE)

De Laplace

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-	==Enunciado==	+	==Introducción==
-	Un cohete a reacción se impulsa en el espacio emitiendo gases a cierta velocidad en el sentido opuesto a su propio movimiento. Sea un cohete que tiene una masa <math>M_0</math> y lleva una carga inicial de combustible <math>m_0</math>. Este combustible es expulsado a ritmo constante <math>\dot{m}</math> con una velocidad constante respecto a la nave, <math>v_0</math>. Si la nave parte del reposo, ¿cuál será su velocidad cuando se le agote el combustible?	+	Una de las aplicaciones más inmediatas de la ley de conservación de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas es el estudio de la propulsión a reacción o propulsión a chorro.
-	==Solución extendida==	+	En su versión más sencilla consiste en la expulsión de gases a gran velocidad por la tobera de un cohete de forma, que por la tercera ley de Newton, el cohete se ve acelerado en el sentido opuesto al de la expulsión.
-	Si el cohete se mueve por el espacio libre de fuerzas externas, la cantidad de movimiento ''del sistema'' debe conservarse en todo momento. Pero, dado que los gases expulsados se llevan una cierta cantidad de movimiento el resultado es que la cantidad de movimiento del cohete también varía.	+
-	Para determinar la velocidad como función del tiempo, establecemos la conservación de la masa y de la cantidad de movimiento entre un instante <math>t</math> y un instante siguiente <math>t +\mathrm{d}t</math>.	+	Este principio permite acelerar y maniobrar a las naves en el espacio (en el que no tienen dónde &ldquo;apoyarse&rdquo;), aunque en la mayoría del trayecto se mueven por inercia sometidas simplemente a los campos gravitatorios presentes.
-	Si suponemos que los gases son expulsados siempre en la misma dirección en la que se mueve el cohete (aunque si deseara maniobrar debería expulsarlos en una dirección diferente) el problema es unidimensional, por lo que podemos usar cantidades escalares.	+	En el caso de un avance en línea recta puede calcularse la cantidad de combustible necesaria para que una cierta carga alcance una velocidad deseada (por ejemplo, la [[velocidad de escape (GIE)|velocidad de escape]].
-	En el instante <math>t</math> la cantidad de movimiento del cohete más el combustible que lleva en ese momento es	+	Podemos resolver este problema, usando la ley de conservación de la cantidad de movimiento.
-	<center><math>p = (M_0+ m(t))v(t)\,</math></center>	+	Tenemos una nave que en un momento dado, incluyendo el combustible que contiene, tiene una masa <math>M</math> y se mueve a una velocidad <center><math>v</math></center>. En un intervalo de tiempo corto expulsa una cantidad de gases de masa <math>\mathrm{d}m</math>. Estos gases son eyectados con rapidez <math>v_0</math> respecto a la nave, de forma que su velocidad respecto a un observador exterior es <math>v-v_0</math>. Con la expulsión, la masa de la nave pasa a ser <math>M-\mathrm{d}m</math> y su velocidad <math>v+\mathrm{d}v</math>.
-	En el instante <math>t+\mathrm{d}t</math> la masa de la nave más combustible pasa a ser	+	La ecuación básica es que en dos instantes sucesivos la cantidad de movimiento del sistema nave+gas expulsado es la misma, y por tanto
-		+
-	<center><math>M(t+\mathrm{d}t) = M(t) - \dot{m}\,\mathrm{d}t</math></center>	+
-		+
-	mientras que su velocidad pasa a ser	+
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-	<center><math>v(t+\mathrm{d}t)=v(t)+a(t)\,\mathrm{d}t\,</math></center>	+
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-	La cantidad de gas expulsada es	+
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-	<center><math>\mathrm{d}m = \dot{m}\,\mathrm{d}t</math></center>	+
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-	y la velocidad con la que se mueve este gas no es <math>v_0</math>, ya que esta es la velocidad con la que sale expulsado respecto a la nave. La velocidad del gas, para un observador exterior es	+
-		+
-	<center><math>v_g(t) = v(t) - v_0\,</math></center>	+
-		+
-	Aplicando ahora la ley de [[cantidad de movimiento de un sistema de partículas|conservación de la cantidad de movimiento]] queda	+
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-	<center><math>(M_0+m)v = (M_0+m - \dot{m}\,\mathrm{d}t)(v + a\,\mathrm{d}t) + (\dot{m}\,\mathrm{d}t)(v-v_0)</math></center>	+
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-	Desarrollando y eliminado los términos que quedan a ambos lados resulta, tras simplificar	+
-		+
-	<center><math>0 =  M_0a+ma-\dot{m}a\,\mathrm{d}t  -\dot{m}v_0</math></center>	+
-		+
-	El término proporcional a <math>\mathrm{d}t</math> es despreciable, con lo que llegamos finalmente a la relación	+
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-	<center><math>(M_0+m)a = \dot{m}v_0\,</math></center>	+
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-	Aquí <math>m</math> no es una constante, sino que	+
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-	<center><math>m = m_0-\dot{m}t</math></center>	+
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-	Para obtener la velocidad como función del tiempo, despejamos la aceleración	+
-		+
-	<center><math>\dot{v}= a = \frac{\dot{m}v_0}{M_0+m_0-\dot{m}t}</math></center>	+
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-	Integrando entre <math>t=0</math> y <math>t_f = m_0/\dot{m}</math> (cuando <math>m</math> se hace 0) obtenemos la velocidad final	+
-		+
-	<center><math>v_f = \int_0^{t_f} \frac{\dot{m}v_0}{M_0+m_0-\dot{m}t}\,\mathrm{d}t  = v_0\ln\left(1+\frac{m_0}{M_0}\right)</math></center>	+
-		+
-	Esta fórmula hay que corregirla para el caso de que se alcancen grandes velocidades o en lugar de gases se emita energía pura (como luz), en cuyo caso hay que usar cálculos relativistas.	+
-		+
-	==Solución abreviada==	+
-	Podemos resolver este mismo problema, usando los mismos principios, pero sin necesidad de introducir el tiempo como variable.	+
-		+
-	la ecuación básica es que en dos instantes sucesivos la cantidad de movimiento del sistema nave+gas expulsado es la misma, y por tanto	+
	<center><math>M v = (M-\mathrm{d}m)(v+\mathrm{d}v) + (\mathrm{d}m)(v-v_0)\,</math></center>		<center><math>M v = (M-\mathrm{d}m)(v+\mathrm{d}v) + (\mathrm{d}m)(v-v_0)\,</math></center>
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-	siendo <math>M</math> la masa total de la nave más el combustible que le que quede en un instante dado y <math>\mathrm{d}m</math> el diferencial de masa de gas expulsado.
	Despejando e igualando queda		Despejando e igualando queda
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	<center><math>v_f = v_0\ln\left(\frac{M_0+m_0}{M_0}\right)</math></center>		<center><math>v_f = v_0\ln\left(\frac{M_0+m_0}{M_0}\right)</math></center>
-	Obsérvese que el resultado realmente no depende de que la masa se expulse a ritmo constante.	+	Esta es la llamada ecuación de Tsiolkovsky, básica en astronáutica.
-	==Solución aun más abreviada==	+	Si deseamos colocar una cierta cantidad de carga útil a una cierta velocidad, la cantidad de combustible necesaria se obtiene despejando
-	Podemos llegar a este resultado de forma aun más corta empleando el sistema centro de masas. Puesto que en un instante dado estamos considerando la nave y el combustible que lleva dentro, la velocidad del centro de masas coincide con la de la nave en ese instante.	+
-	Por tanto, antes de que expulse la masa <math>\mathrm{d}m</math> de gases, la velocidad de la nave en el sistema CM es cero.	+
-		+
-	<center><math> p' = Mv' = 0\,</math></center>	+
-		+
-	Después de que expulse estos gases, la nave ha adquirido una velocidad <math>\mathrm{d}v</math>, mientras los gases tienen una velocidad <math>-v_0</math>, por lo que la conservación de la cantidad de movimiento implica	+
-		+
-	<center><math> 0 = (M-\mathrm{d}m)\mathrm{d}v - \mathrm{d}m\,v_0</math></center>	+
-		+
-	y a partir de aquí el problema sigue como en la sección anterior.	+
-		+
-	==Combustible necesario==	+
-	Si deseamos colocar una cierta cantidad de carga útil a una cierta velocidad, la cantidad de combustible necesaria se obtiene depejando	+
	<center><math>m_0 = M_0\left(\mathrm{e}^{v_f/v_0}-1\right)\,</math></center>		<center><math>m_0 = M_0\left(\mathrm{e}^{v_f/v_0}-1\right)\,</math></center>
Línea 109:		Línea 48:
	Este crecimiento exponencial con la velocidad hace que sea muy importante optimizar la masa del cohete para reducir el combustible necesario. Por ello, los cohetes constan de fases, que se van desprendiendo a medida que dejan de ser necesarias.		Este crecimiento exponencial con la velocidad hace que sea muy importante optimizar la masa del cohete para reducir el combustible necesario. Por ello, los cohetes constan de fases, que se van desprendiendo a medida que dejan de ser necesarias.
-	==Valores numéricos==	+	Supongamos que se quiere poner sacar de la órbita terrestre un satélite de 1000&thinsp;kg, mediante gases expulsados a 4&thinsp;km/s. ¿Cuánto combustible hace falta para alcanzar la velocidad de escape de 11.2&thinsp;km/s
		+
		+	<center><math>m_0 = (1000\,\mathrm{kg})(\mathrm{e}^{11.2/4}-1) \simeq 15000\,\mathrm{kg}</math></center>
		+	Resultan 15 kilos de combustible por cada kg de carga útil (''payload''). Eso sin contar, por supuesto, el peso de la estructura del propio cohete, el trabajo extra para vencer la atracción gravitatoria y la fricción con el aire, que elevan la proporción de masa total respecto de carga útil.
	[[Categoría:Dinámica de los sistemas de partículas (GIE)]]		[[Categoría:Dinámica de los sistemas de partículas (GIE)]]

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Revisión de 23:28 29 nov 2011

Introducción

Una de las aplicaciones más inmediatas de la ley de conservación de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas es el estudio de la propulsión a reacción o propulsión a chorro.

En su versión más sencilla consiste en la expulsión de gases a gran velocidad por la tobera de un cohete de forma, que por la tercera ley de Newton, el cohete se ve acelerado en el sentido opuesto al de la expulsión.

Este principio permite acelerar y maniobrar a las naves en el espacio (en el que no tienen dónde “apoyarse”), aunque en la mayoría del trayecto se mueven por inercia sometidas simplemente a los campos gravitatorios presentes.

En el caso de un avance en línea recta puede calcularse la cantidad de combustible necesaria para que una cierta carga alcance una velocidad deseada (por ejemplo, la velocidad de escape.

Podemos resolver este problema, usando la ley de conservación de la cantidad de movimiento.

Tenemos una nave que en un momento dado, incluyendo el combustible que contiene, tiene una masa M y se mueve a una velocidad v. En un intervalo de tiempo corto expulsa una cantidad de gases de masa dm. Estos gases son eyectados con rapidez v₀ respecto a la nave, de forma que su velocidad respecto a un observador exterior es v − v₀. Con la expulsión, la masa de la nave pasa a ser M − dm y su velocidad v + dv.

La ecuación básica es que en dos instantes sucesivos la cantidad de movimiento del sistema nave+gas expulsado es la misma, y por tanto

Despejando e igualando queda

donde hemos despreciado el término que es mucho más pequeño que los demás. Equivalentemente

La cantidad de masa expulsada es igual a lo que disminuye la masa del cohete, por lo que

esto es

Integrando cada miembro

La masa inicial es la del cohete más el combustible, mientras que la del final es solo la del cohete, por lo que obtenemos finalmente

Esta es la llamada ecuación de Tsiolkovsky, básica en astronáutica.

Si deseamos colocar una cierta cantidad de carga útil a una cierta velocidad, la cantidad de combustible necesaria se obtiene despejando

Este crecimiento exponencial con la velocidad hace que sea muy importante optimizar la masa del cohete para reducir el combustible necesario. Por ello, los cohetes constan de fases, que se van desprendiendo a medida que dejan de ser necesarias.

Supongamos que se quiere poner sacar de la órbita terrestre un satélite de 1000 kg, mediante gases expulsados a 4 km/s. ¿Cuánto combustible hace falta para alcanzar la velocidad de escape de 11.2 km/s

Resultan 15 kilos de combustible por cada kg de carga útil (payload). Eso sin contar, por supuesto, el peso de la estructura del propio cohete, el trabajo extra para vencer la atracción gravitatoria y la fricción con el aire, que elevan la proporción de masa total respecto de carga útil.