Cuestión de álgebra vectorial, Noviembre 2011
De Laplace
(→Coordenadas del vértice C) |
(→Coordenadas del vértice C) |
||
| Línea 48: | Línea 48: | ||
Por su parte, sabemos que el vector <math>\vec{b}</math> forma un ángulo <math>\pi/4</math> con el eje <math>OZ</math>, pero desconocemos los ángulos <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> que forma con los ejes <math>OX</math> y <math>OY</math>; es decir, desconocemos sus componentes cartesianas “<math>x</math>” e “<math>y</math>”: | Por su parte, sabemos que el vector <math>\vec{b}</math> forma un ángulo <math>\pi/4</math> con el eje <math>OZ</math>, pero desconocemos los ángulos <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> que forma con los ejes <math>OX</math> y <math>OY</math>; es decir, desconocemos sus componentes cartesianas “<math>x</math>” e “<math>y</math>”: | ||
| - | <center><math>\vec{b}=\cos\alpha\ \vec{\imath}\ + \cos\beta\ \vec{\jmath}\ + \cos\frac{\pi}{4}\ \vec{k}=b_x \ \vec{\imath}\ + | + | <center><math>\vec{b}=\cos\alpha\ \vec{\imath}\ + \cos\beta\ \vec{\jmath}\ + \cos\frac{\pi}{4}\ \vec{k}=b_x \ \vec{\imath}\ + b_y </math></center> |
<center><math>\cos\alpha\ \+\cos \beta\ + +\ b_y\ \vec{\jmath}\ + \frac{\sqrt{2}}{2}</math></center> | <center><math>\cos\alpha\ \+\cos \beta\ + +\ b_y\ \vec{\jmath}\ + \frac{\sqrt{2}}{2}</math></center> | ||
Revisión de 21:13 20 nov 2011
Contenido |
1 Enunciado
área es igual a 
. Su lado OA se encuentra en el plano
OXY de un sistema de referencia cartesiano, formando un ángulo de
π / 4 con el eje OX. El lado OB forma un ángulo de π / 4
con el eje OZ.
- Calcular la longitud de la diagonal OC
- Determinar las coordenads cartesianas del vértice C
2 Solución
2.1 Longitud de la diagonal
Consideremos los vectores 
, 
y 
, de igual módulo, dirección y sentido que los respectivos segmentos orientados 
, 
y 
. Al corresponder éstos con dos lados adyacentes y la diagonal del rombo, se tendrán que
La longitud de la diagonal OC es el módulo de este vector,
que podemos obtener a partir del producto escalar del vector por sí mismo:
Como los lados OA y OB tienen longitud unidad, sus correspondientes vectores tienen módulo 1. Se tendrán entonces,
siendo θ el ángulo que forman los segmentos y . Y para determinar el valor de dicho ángulo, utilizamos el dato del área del rombo que, al ser esta figura un paralelogramo, será igual al módulo del producto vectorial de los vectores que se corresponden con dos lados adyacentes; es decir,
Aplicando de nuevo que los lados del rombo tienen longitud unidad y que, por tanto, los vectores y tienen módulo uno, se obtiene...
Y con este resultado ya podemos determgitud de las diagonales del rombo:
2.2 Coordenadas del vértice C
Al tomar el origen del sistema de referencia en el vértice O del rombo, las coordenadas cartesianas del vértice C son las mismas que las del vector cuyo módulo dirección y sentido son los del segmento orientado . Y, como sabemos, el vector lo podemos obtener como la suma de los vectores y . Así que, comencemos por la obtención de las expresiones analíticas de estos dos vectores en la base cartesiana. Ambos son vectores unitarios, por tanto, sus correspondientes coordenadas cartesianas serán sus cosenos directores respecto de las direcciones OX, OY y OZ.
Al estar contenido en el plano OXY, el segmento orientado forma un ángulo π / 2 con el eje OZ y, según se indica en el enunciado, sendos ángulos π / 4 con los ejes OX y OY. Por tanto,
Por su parte, sabemos que el vector forma un ángulo π / 4 con el eje OZ, pero desconocemos los ángulos α y β que forma con los ejes OX y OY; es decir, desconocemos sus componentes cartesianas “x” e “y”:
