1.11. Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)
De Laplace
(→Enunciado) |
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| Línea 7: | Línea 7: | ||
3) Formar junto a los vectores <math>\,\vec{\imath}\,\,</math> m y | 3) Formar junto a los vectores <math>\,\vec{\imath}\,\,</math> m y | ||
| - | <math>\,\vec{k}\,</math> m un paralelepípedo de volumen igual a | + | <math>\,\vec{k}\,</math> m un paralelepípedo de volumen igual a 6 m³ |
==Solución== | ==Solución== | ||
Revisión de 13:38 14 nov 2011
1 Enunciado
Determine todos los vectores libres que cumplen las tres siguientes condiciones:
1) Tener una longitud de 14 m.
2) Ser ortogonal al vector 
m.
3) Formar junto a los vectores 
m y
m un paralelepípedo de volumen igual a 6 m³
2 Solución
Exigiremos a un vector genérico 
las tres condiciones dadas. Por comodidad, prescindiremos de las unidades hasta llegar a la solución final (son todas unidades del SI).
La longitud de un vector es su módulo. Así que el cuadrado del módulo de 
debe ser:
La condición de ortogonalidad entre dos vectores viene dada por la nulidad de su producto escalar:
El volumen del paralelepípedo que tiene a tres vectores por aristas es igual al valor absoluto de su producto mixto:
Sustituyendo (2) y (3) en (1) y resolviendo la ecuación resultante, se obtienen dos soluciones para 
. Y a cada una de esas dos soluciones de le corresponde mediante (2) una solución en 
:
Atendiendo a la duplicidad de signo en la solución obtenida para la componente 
en (3), podemos finalmente concluir que existen cuatro vectores que satisfacen las tres condiciones dadas, a saber:
