2.5. Rectilíneo con desaceleración creciente (Ex.Nov/11)
De Laplace
(→Tiempo que tarda en detenerse) |
(→Tiempo que tarda en detenerse) |
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| Línea 21: | Línea 21: | ||
La partícula se detendrá en el instante <math>t=t^*\,</math> en el que se anule su velocidad, es decir: | La partícula se detendrá en el instante <math>t=t^*\,</math> en el que se anule su velocidad, es decir: | ||
| - | <center><math>v_x(t*)=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_x(0)-\frac{1}{2}K(t^*)^2=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,t^*=\sqrt{\frac{2v_x(0)}{K}}</math></center> | + | <center><math>v_x(t^{*})=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_x(0)-\frac{1}{2}K(t^*)^2=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,t^*=\sqrt{\frac{2v_x(0)}{K}}</math></center> |
y sustituyendo los datos numéricos: | y sustituyendo los datos numéricos: | ||
Revisión de 19:03 12 nov 2011
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula está recorriendo el eje OX en sentido positivo con una celeridad constante de 25 m/s. En un instante dado (t=0) se detecta un obstáculo en su trayectoria a 50 m por delante de ella. A partir de dicho instante se le aplica a la partícula una desaceleración creciente en el tiempo según la fórmula 
, donde 
es una constante de valor igual a 8.00 m/s3. ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse la partícula? ¿A qué distancia del obstáculo se detendrá?
2 Velocidad y posición
Se trata de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje OX. Por tanto, podemos escribir:
Considerando por simplicidad que el origen de coordenadas coincide con la posición de la partícula en el instante en que se detecta el obstáculo 
, conocemos también las condiciones iniciales:
Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula para 
se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:
![\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}x=\left[v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\right]\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\int_{x(0)}^{x(t)}\!\mathrm{d}x=\int_{0}^{t}\!\left[v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\right]\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,x(t)=x(0)+v_x(0)t-\frac{1}{6}Kt^3](/wiki/images/math/f/9/1/f91851d7c6c9ea60537d7b3e7c086505.png)
3 Tiempo que tarda en detenerse
La partícula se detendrá en el instante 
en el que se anule su velocidad, es decir:
y sustituyendo los datos numéricos:
4 Distancia del obstáculo a la que se detiene
Se trata simplemente de evaluar la posición (coordenada 
) de la partícula para el instante en que se detiene, y después restarle el valor de esa posición de la partícula a la posición en la que se encuentra el obstáculo:
y sustituyendo los datos numéricos:
