1.3. Lados de un triángulo rectángulo (Ex.Nov/11)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 21:30 10 nov 2011

1 Enunciado

¿Cuál de las siguientes ternas de vectores libres podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo?

1) $\,\,\,\vec{a}=(-\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(-\vec{\imath}-5\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

2) $\,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(2\,\vec{\imath}-3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(5\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

3) $\,\,\,\vec{a}=(\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(-2\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

4) $\,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

2 Solución

Los lados de un triángulo constituyen una línea poligonal cerrada. Por tanto, tres vectores libres ( $\vec{a}\,$ , $\vec{b}\,$ y $\vec{c}\,$ ) sólo podrán corresponder a los lados de un triángulo si admiten una ordenación que les haga formar una línea poligonal cerrada. Dependiendo de los sentidos relativos de los vectores en dicha poligonal cerrada, existen cuatro situaciones posibles, cada una de las cuales corresponde al cumplimiento de una de las cuatro ecuaciones siguientes:

$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}\,\,\,$

Es inmediato comprobar que de las ternas del enunciado, la (2) y la (4) no satisfacen ninguna de estas ecuaciones, de modo que quedan descartadas. Sin embargo, la terna (1) satisface $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\,$ , y la terna (3) satisface $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}\,$ .

Ahora bien, para que el triángulo formado sea rectángulo es necesario además que dos de los vectores de la terna sean ortogonales, lo cual no ocurre en la terna (1). Por el contrario, en la terna (3) observamos que

@@ Línea 23: / Línea 23: @@
 <center><math>\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}\,\,\,</math></center>
-Es inmediato comprobar que de las ternas del enunciado, la (2)
+Es inmediato comprobar que de las ternas del enunciado, la (2) y la (4) no satisfacen ninguna de estas ecuaciones, de modo que quedan descartadas. Sin embargo, la terna (1) satisface <math>\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\,</math>, y la terna (3) satisface <math>\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}\,</math>.
+Ahora bien, para que el triángulo formado sea rectángulo es necesario además que dos de los vectores de la terna sean ortogonales, lo cual no ocurre en la terna (1). Por el contrario, en la terna (3) observamos que
 [[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)]]

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