Aceleración en un tramo rectilíneo (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 21:21 19 sep 2011

1 Enunciado

La longitud de la recta principal del circuito de Monza mide 1.3 km. Un Ferrari entra en la recta a 260km/h y acelera durante 0.8 km hasta alcanzar 340&thinsP,km/h. Mantiene esta velocidad hasta estar a 150 m de la primera chicane, a la que llega a 80 km/h. Un Red Bull entra en la misma recta a 280 km/h, acelera hasta 320 km/h durante 0.7 km y frena al llegar a 120 m de la chicane, en la que entra a 90 km/h.

Suponiendo que las aceleraciones son constantes en cada uno de los tramos

Determine las aceleraciones de los dos vehículos en cada uno de los tramos. Exprese el resultado como múltiplo de g.
Calcule la velocidad media de cada uno. ¿Cuál tarda menos en hacer en recorrer la recta?
Represente las gráficas de velocidad frente a la posición y frente al tiempo.

2 Aceleraciones

A la vista de este problema, la tentación es pensar que la gráfica de la velocidad de uno de los coches respecto a la posición tiene una gráfica del estilo de la siguiente:

y que la aceleración es la pendiente de cada tramo. Esto es doblemente incorrecto:

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, no respecto a la posición.
No sabemos todavía como depende la velocidad de la posición. Aceleración constante no quiere decir que la gráfica $v (x)$ sea una recta (no lo es).

Para obtener la aceleración en un movimiento uniformemente acelerado, aplicamos las dos relaciones

$\begin{array}{rcl} x & = & \displaystyle x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a t^2 \\ v & = & v_0 + a t \\ \end{array}$

Si elevamos al cuadrado la segunda nos queda

$v^2 = v_0^2 + 2v_0at + a^2 t^2 = v_0^2 + 2a\left(v_0t + \frac{1}{2}at^2\right)= v_0^2+2a(x-x_0)$

Despejando de aquí

$a = \frac{v^2-v_0^2}{2(x-x_0)}$

Llevando esto al límite obtenemos la relación general

$a = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}(v^2)$

esto es, en un movimiento uniformemente acelerado se obtiene una recta en la gráfica de $v 2$ frente a $x$ , no en la de $v (x)$ .

Podemos aplicar esta fórmula a los diferentes casos indicados en el enunciado:

Ferrari: En el primer tramo tenemos

$v_0 = 260\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 72.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $v_1 = 340\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 94.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $x_1-x_0 = 800\,\mathrm{m}$

lo que nos da la aceleración

$a_1 = \frac{v_1^2-v_0^2}{2(x_1-x_0)}=2.31\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 0.24\,g$

En el segundo tramo, en que el movimiento es uniforme, la aceleración es nula.

$a_2 = 0.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

En el tercer tramo operamos del mismo modo

$v_2 = v_1 = 94.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $v_3 = 80\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 22.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $x_3-x_2 = 150\,\mathrm{m}$

y nos queda la aceleración

$a_3 = \frac{v_3^2-v_2^2}{2(x_3-x_2)}= -28.1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = -2.86\,g$

Vemos que la aceleración es mucho más intensa en la frenada que en el tramo acelerado.

Red Bull: Operando igualmente, en el primer tramo tenemos

$v_0 = 280\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 77.8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $v_1 = 320\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 88.9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $x_1-x_0 = 700\,\mathrm{m}$

y queda la aceleración

$a_1 = \frac{v_1^2-v_0^2}{2(x_1-x_0)}=1.32\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = 0.13\,g$

En el segundo tramo la aceleración es nula.

$a_2 = 0.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

y en el tercer tramo vale

$v_2 = v_1 = 89.9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $v_3 = 90\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = 25.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $x_3-x_2 = 120\,\mathrm{m}$ $a_3 = \frac{v_3^2-v_2^2}{2(x_3-x_2)}= -30.3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = -3.10\,g$

3 Velocidad media

La velocidad media se define como la distancia total recorrida dividida por el tiempo empleado en recorrerla

$v_m = \frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$

En este caso, conocemos cuál es la distancia recorrida por los dos pilotos, pero aun no conocemos el tiempo empleado en recorrerla.

En el caso de un movimiento uniformemente acelerado, si conocemos el incremento de velocidades, podemos obtener el tiempo en recorrer un tramo como

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}=\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \Delta t = \frac{\Delta v}{a}$

Sustituyendo la expresión de la aceleración obtenemos en función de las posiciones y la distancia

$\Delta t = \frac{x_1-x_0}{(v_0+v_1)/2}$

En un movimiento uniforme, simplemente

$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \Delta t = \frac{\Delta x}{v}$

que es un caso particular de la anterior para $v 0 = v 1$ .

Esto nos da para el Ferrari

$\Delta t_1 = \frac{x_1-x_0}{(v_0+v_1)/2} = 9.60\,\mathrm{s}$ $\Delta t_2 = \frac{x_2-x_1}{v_1}=\frac{350\,\mathrm{m}}{94.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}=3.71\,\mathrm{s}$ $\Delta t_3 = \frac{x_3-x_2}{(v_3+v_3)/2} = 2.57\,\mathrm{s}$

En total

$\Delta =\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3 = 15.9\,\mathrm{s}$

Operando del mismo modo para el Red Bull obtenemos

$\Delta t_1 = 8.4\,\mathrm{s}\qquad \Delta t_2 = 5.40\,\mathrm{s}\qquad\Delta t_3 = 2.1\,\mathrm{s}$

y en total

$\Delta t = 15.9\,\mathrm{s}$

Vemos que el tiempo empleado es el mismo

@@ Línea 97: / Línea 97: @@
 En un movimiento uniforme, simplemente
-<center><math>v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \frac\Delta t = \frac{\Delta x}{v}</math></center>
+<center><math>v=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \Delta t = \frac{\Delta x}{v}</math></center>
 que es un caso particular de la anterior para <math>v_0=v_1</math>.
@@ Línea 109: / Línea 109: @@
 <center><math>\Delta =\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3 = 15.9\,\mathrm{s}</math></center>
+Operando del mismo modo para el Red Bull obtenemos
+<center><math>\Delta t_1 = 8.4\,\mathrm{s}\qquad \Delta t_2 = 5.40\,\mathrm{s}\qquad\Delta t_3 = 2.1\,\mathrm{s}</math></center>
+y en total
+<center><math>\Delta t = 15.9\,\mathrm{s}</math></center>
+Vemos que el tiempo empleado es el mismo
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