Sistema de dos bloques conductores
De Laplace
(→Estado de equilibrio inicial) |
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| Línea 51: | Línea 51: | ||
La carga almacenada en las paredes de la caja exterior, por el teorema de Faraday, es igual a la carga contenida en su interior, cambiada de signo | La carga almacenada en las paredes de la caja exterior, por el teorema de Faraday, es igual a la carga contenida en su interior, cambiada de signo | ||
| - | <center><math>Q_0 = -Q_1 - | + | <center><math>Q_0 = -Q_1 -Q_2 = -18\,\mathrm{nC}</math></center> |
==Estado de equilibrio final== | ==Estado de equilibrio final== | ||
| + | Tras cerrar el interruptor, el conductor 2 se conecta a tierra a través de una resistencia. Circula una corriente debido a la diferencia de potencial, que desaparece cuando se igualan los potenciales de los extremos. Puesto que la caja permanece a tierra el estado final se caracteriza porque | ||
| + | |||
| + | <center><math>V_2 = 0\,\mathrm{V}</math></center> | ||
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| + | El conductor 2 deja de estar descargado, ya que como consecuencia de la corriente, se ha almacenado una cierta carga en él. El conductor 1, que sigue aislado, mantiene la misma carga que antes | ||
| + | |||
| + | <center><math>Q_1 = 18\,\mathrm{nC}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Llevando esto al sistema de ecuaciones anterior nos queda | ||
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| + | <center><math>\begin{array}{rcrcr} | ||
| + | 18000 & = & 300V_1 & - & 75\cdot 0\\ | ||
| + | Q_2 & = & -75V_1 & + & 300\cdot 0 | ||
| + | \end{array}</math></center> | ||
| + | |||
| + | cuya solución es inmediata | ||
| + | |||
| + | <center><math>V_1 = 60\,\mathrm{V}\qquad Q_2 = -4.5\,\mathrm{nC}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Desde el punto de vista del circuito equivalente, lo que hemos hecho es cortocircuitar el condensador <math>\overline{C}_{22}</math>, apareciendo una carga en el condensador <math>\overline{C}_{12}</math>, esto es, que la carga <math>Q_2</math> se almacena en la cara enfrentada al otro bloque. | ||
| + | |||
| + | La nueva energía vale | ||
| + | |||
| + | <center><math>U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2\overbrace{V_2}^{=0} = \frac{1}{2}(18\,\mathrm{nC})(60\,\mathrm{V}) = 540\,\mathrm{nJ}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Durante el periodo transitorio se ha disipado una energía | ||
| + | |||
| + | <center><math>W_d = -\Delta U_\mathrm{e} = -(540\,\mathrm{nJ}-576\,\mathrm{nJ}) = 36\,\mathrm{nJ}</math></center> | ||
| + | |||
| + | La carga almacenada ahora en la caja también cambia | ||
| + | |||
| + | <center><math>Q_0 = -Q_1 -Q_2 = -13.5\,\mathrm{nC}</math></center> | ||
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| + | |||
==Transitorio== | ==Transitorio== | ||
Revisión de 23:51 1 sep 2011
Contenido |
1 Enunciado
2 Coeficientes de capacidad
La forma más sencilla de calcular los coeficientes de capacidad e inducción es mediante el circuito equivalente.
El circuito equivalente está formado por dos nodos y tres condensadores. Los nodos representan a los dos bloques. Los condensadores son uno de capacidad 
entre ambos nodos y que representa las líneas de campo que van de un bloque a otro, y dos condensadores 
y 
, que representan las líneas de campo que conectan cada bloque con la caja exterior.
Para hallar los valores de las capacidades, despreciamos los efectos de borde, por lo que se pueden tratar como una asociación de condensadores planos. Si tomamos como unidad un condensador cuya superficie sea un rectángulo de 25 mm×50 mm y distancia entre placas 1 mm, con capacidad
Entonces, el condensador que forman los dos bloques tiene el doble de esta área y por tanto el doble de capacidad
Los que forma cada bloque con la caja exterior equivale a 6 veces el condensador unidad (2 veces en la cara cuadrada y las 4 caras laterales)
Una vez que tenemos las capacidades es inmediato hallar los coeficientes de capacidad
o, en forma matricial
3 Estado de equilibrio inicial
En el estado inicial conocemos la carga de los dos conductores
y se trata de hallar las respectivas tensiones. Si expresamos la carga en picoculombios, el voltaje en voltios y la capacidad en picofaradios, nos queda el sistema
Despejando en la segunda y sustituyendo en la primera
y de aquí
La energía almacenada en el sistema es igual a
La carga almacenada en las paredes de la caja exterior, por el teorema de Faraday, es igual a la carga contenida en su interior, cambiada de signo
4 Estado de equilibrio final
Tras cerrar el interruptor, el conductor 2 se conecta a tierra a través de una resistencia. Circula una corriente debido a la diferencia de potencial, que desaparece cuando se igualan los potenciales de los extremos. Puesto que la caja permanece a tierra el estado final se caracteriza porque
El conductor 2 deja de estar descargado, ya que como consecuencia de la corriente, se ha almacenado una cierta carga en él. El conductor 1, que sigue aislado, mantiene la misma carga que antes
Llevando esto al sistema de ecuaciones anterior nos queda
cuya solución es inmediata
Desde el punto de vista del circuito equivalente, lo que hemos hecho es cortocircuitar el condensador , apareciendo una carga en el condensador , esto es, que la carga Q2 se almacena en la cara enfrentada al otro bloque.
La nueva energía vale
Durante el periodo transitorio se ha disipado una energía
La carga almacenada ahora en la caja también cambia
