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Potencial eléctrico fuera de un conductor

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Campo eléctrico)
(→Densidades de carga)
Línea 32: Línea 32:
==Densidades de carga==
==Densidades de carga==
===Volumétrica===
===Volumétrica===
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La densidad de carga la poremos obtener a partir del campo eléctrico
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empleando la ley de Gauss
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<center><math>\rho = \varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf{E}</math></center>
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Empleando la expresión en coordenadas esféricas
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<center><math>\rho = \frac{\varepsilon_0}{r^2}\,\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}\left(r^2E\right)</math></center>
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En el interior de la esfera conductora esta densidad es naturalmente nula. En el exterior
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<center><math>\rho = \frac{\varepsilon_0}{r^2}\,\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}\left(V_0a-\frac{V_0a}{r}\right) = \frac{\varepsilon_0 V_0a^2}{r^4}</math></center>
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Alternativamente, podemos emplear la ecuación de Poisson
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<center><math>\rho = -\varepsilon_0\nabla^2\phi = -\frac{\varepsilon_0}{r}\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d}r^2}(r\phi)</math></center>
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Sustituyendo la expresión del potencial
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<center><math>\rho = -\frac{\varepsilon_0}{r}\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d}r^2}\left(V_0a-\frac{V_0a^2}{2r}\right) = \frac{\varepsilon_0 V_0a^2}{r^4}</math></center>
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Combinando el resultado para el interior y el exterior
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<center><math>\rho(r) = \begin{cases} 0 & r < \displaystyle\frac{a}{2} \\ & \\ \displaystyle \frac{\varepsilon_0 V_0a^2}{r^4} & r > \displaystyle \frac{r}{2}\end{cases}</math></center>
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===Superficial===
===Superficial===
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Además de la densidad volumétrica tenemos una densidad superficial sobre la esfera conductora, que puede calcularse a partir de la discontinuidad en el campo eléctrico
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<center><math>\sigma_s = \varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}] = \varepsilon_0 \mathbf{u}_r\cdot\left(\mathbf{E}_\mathrm{ext}(a/2)-\mathbf{E}_\mathrm{int}(a/2)\right)</math></center>
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Sustituyendo la expresión del campo eléctrico
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<center><math>\mathbf{E}_\mathrm{ext}(a/2) = \left(\frac{V_0a}{a^2/4}-\frac{V_0a^2}{a^3/8}\right)\mathbf{u}_r = -\frac{4V_0}{a}\mathbf{u}_r</math></center>
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lo que nos da la densidad superficial de carga
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<center><math>\sigma_s = -\frac{4\varepsilon_0V_0}{a}</math></center>
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==Carga total==
==Carga total==
==Energía electrostática==
==Energía electrostática==

Revisión de 22:39 2 jul 2011

Contenido

1 Enunciado

En el exterior de una esfera conductora puesta a tierra se encuentra una cierta densidad de carga eléctrica de forma que el potencial eléctrico en el exterior de la esfera tiene la expresión

\phi(r) = \frac{V_0a}{r}-\frac{V_0a^2}{2r^2}

y es nulo en su interior.

  1. Determine el radio de la esfera conductora.
  2. Halle el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
  3. Calcule las densidades de carga que son fuentes de este campo.
  4. Halle la carga total de la distribución.
  5. Calcule la energía electrostática almacenada en el sistema.

2 Radio de la esfera

El radio de la esfera lo calculamos sabiendo que éta se encuentra conectada a tierra y por tantu su tensión vale 0. Buscamos entonces en qué punto se anula el potencial

0 = \phi(r) = \frac{V_0a}{r}-\frac{V_0a^2}{2r^2} = \frac{V_0a(2r-a)}{2r^2}\qquad\Rightarrow\qquad r = \frac{a}{2}

Por tanto, la esfera tiene radio a / 2 y la distribución del potencial es

\phi(r) = \begin{cases} 0 & r < \displaystyle\frac{a}{2} \\ & \\ \displaystyle \frac{V_0a}{r}-\frac{V_0a^2}{2r^2} & r > \displaystyle \frac{a}{2}\end{cases}

3 Campo eléctrico

Obtenemos el campo eléctrico como el gradiente del potencial, cambiado de signo.

En el interior de la esfera es nulo, mientras que en el exterior

\mathbf{E}=-\nabla\phi = -\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}r}\mathbf{u}_r = \left(\frac{V_0a}{r^2}-\frac{V_0a^2}{r^3}\right)\mathbf{u}_r

Reuniendo los dos resultados

4 Densidades de carga

4.1 Volumétrica

La densidad de carga la poremos obtener a partir del campo eléctrico empleando la ley de Gauss

\rho = \varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf{E}

Empleando la expresión en coordenadas esféricas

\rho = \frac{\varepsilon_0}{r^2}\,\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}\left(r^2E\right)

En el interior de la esfera conductora esta densidad es naturalmente nula. En el exterior

\rho = \frac{\varepsilon_0}{r^2}\,\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}r}\left(V_0a-\frac{V_0a}{r}\right) = \frac{\varepsilon_0 V_0a^2}{r^4}

Alternativamente, podemos emplear la ecuación de Poisson

\rho = -\varepsilon_0\nabla^2\phi = -\frac{\varepsilon_0}{r}\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d}r^2}(r\phi)

Sustituyendo la expresión del potencial

\rho = -\frac{\varepsilon_0}{r}\frac{\mathrm{d}^2\ }{\mathrm{d}r^2}\left(V_0a-\frac{V_0a^2}{2r}\right) = \frac{\varepsilon_0 V_0a^2}{r^4}

Combinando el resultado para el interior y el exterior

\rho(r) = \begin{cases} 0 & r < \displaystyle\frac{a}{2} \\ & \\ \displaystyle \frac{\varepsilon_0 V_0a^2}{r^4} & r > \displaystyle \frac{r}{2}\end{cases}

4.2 Superficial

Además de la densidad volumétrica tenemos una densidad superficial sobre la esfera conductora, que puede calcularse a partir de la discontinuidad en el campo eléctrico

\sigma_s = \varepsilon_0\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}] = \varepsilon_0 \mathbf{u}_r\cdot\left(\mathbf{E}_\mathrm{ext}(a/2)-\mathbf{E}_\mathrm{int}(a/2)\right)

Sustituyendo la expresión del campo eléctrico

\mathbf{E}_\mathrm{ext}(a/2) = \left(\frac{V_0a}{a^2/4}-\frac{V_0a^2}{a^3/8}\right)\mathbf{u}_r = -\frac{4V_0}{a}\mathbf{u}_r

lo que nos da la densidad superficial de carga

\sigma_s = -\frac{4\varepsilon_0V_0}{a}

5 Carga total

6 Energía electrostática

6.1 A partir del potencial

6.2 A partir del campo

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Potencial_el%C3%A9ctrico_fuera_de_un_conductor"

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