Energía electromagnética en una onda viajera
De Laplace
(→Campo magnético) |
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| Línea 22: | Línea 22: | ||
De acuerdo con la ley de Faraday, esto debe ser igual a la derivada temporal del campo magnético, cambiada de signo. | De acuerdo con la ley de Faraday, esto debe ser igual a la derivada temporal del campo magnético, cambiada de signo. | ||
| - | <center><math>-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = k E_0\mathrm{sen}(\omega t - k z)\mathbf{u}_y\qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{B}=\frac{k}{\omega}\cos(\omega t - k | + | <center><math>-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = k E_0\mathrm{sen}(\omega t - k z)\mathbf{u}_y\qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{B}=\frac{k}{\omega}\cos(\omega t - k z)\mathbf{u}_y</math></center> |
En principio la amplitud de las oscilaciones del campo magnético dependen tanto de la frecuencia <math>\omega</math> como del número de onda <math>k</math>. Sin embargo, no es así. Sustituyendo en la ley de Ampère-Maxwell obtenemos, por un lado | En principio la amplitud de las oscilaciones del campo magnético dependen tanto de la frecuencia <math>\omega</math> como del número de onda <math>k</math>. Sin embargo, no es así. Sustituyendo en la ley de Ampère-Maxwell obtenemos, por un lado | ||
| - | <center><math>\nabla\times\mathbf{B}=-\frac{k^2}{\omega}E_0\mathrm{sen}(\omega t - | + | <center><math>\nabla\times\mathbf{B}=-\frac{k^2}{\omega}E_0\mathrm{sen}(\omega t - kz)\mathbf{u}_x</math></center> |
y por otro | y por otro | ||
| Línea 38: | Línea 38: | ||
Esta es la llamada ''relación de dispersión'' para el vacío. De aquí obtenemos | Esta es la llamada ''relación de dispersión'' para el vacío. De aquí obtenemos | ||
| - | <center><math>\mathbf{B} = \frac{E_0}{c}\cos(\omega t - k | + | <center><math>\mathbf{B} = \frac{E_0}{c}\cos(\omega t - k z)\mathbf{u}_y</math></center> |
El campo magnético, por tanto, oscila completamente en fase con el campo eléctrico. | El campo magnético, por tanto, oscila completamente en fase con el campo eléctrico. | ||
| Línea 45: | Línea 45: | ||
==Densidades de energía== | ==Densidades de energía== | ||
| + | ===Eléctrica=== | ||
| + | La densidad de energía eléctrica en cada punto del espacio viene dada por | ||
| + | |||
| + | <center><math>u_\mathrm{e} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0E_0^2 \cos^2(\omega t - k z) = \frac{\varepsilon_0 E_0^2}{4}(+\cos(2(\omega t-\k z))</math></center> | ||
| + | |||
| + | Esta densidad de energía es oscilante con frecuencia <math>2\omega</math> en torno a un valor fijo. La densidad de energía se anula cuando lo hace el campo eléctrico. | ||
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| + | ===Magnética=== | ||
| + | Una vez que conocemos el campo magnético, podemos hallar la densidad de energía magnética en cada punto del espacio | ||
| + | |||
| + | <center><math>u_\mathrm{m} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2}\varepsilon_0E_0^2 \cos^2(\omega t - k z) = \frac{\varepsilon_0 E_0^2}{4}(+\cos(2(\omega t-\k z))</math></center> | ||
| + | |||
| + | Esta densidad de energía es oscilante con frecuencia <math>2\omega</math> en torno a un valor fijo. La densidad de energía se anula cuando lo hace el campo eléctrico. | ||
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| + | ===Electromagnética==== | ||
==Promedio de la densidad de energía== | ==Promedio de la densidad de energía== | ||
==Vector de Poynting== | ==Vector de Poynting== | ||
Revisión de 15:42 2 jun 2011
Contenido |
1 Enunciado
Una onda plana monocromática en una región libre de fuentes posee el campo eléctrico
- Determine el valor del campo magnético en todos los puntos del espacio.
- Calcule las densidades de energía eléctrica y magnética en todos los puntos del espacio.
- Halle el promedio temporal de las densidades de energía, definido como
- Calcule el vector de Poynting en cada instante
- Halle el promedio temporal del vector de Poynting
2 Campo magnético
Si hallamos las fuentes vectoriales del campo eléctrico obtenemos
De acuerdo con la ley de Faraday, esto debe ser igual a la derivada temporal del campo magnético, cambiada de signo.
En principio la amplitud de las oscilaciones del campo magnético dependen tanto de la frecuencia ω como del número de onda k. Sin embargo, no es así. Sustituyendo en la ley de Ampère-Maxwell obtenemos, por un lado
y por otro
Para que estas dos cantidades sean iguales en todo instante, debe ser
Esta es la llamada relación de dispersión para el vacío. De aquí obtenemos
El campo magnético, por tanto, oscila completamente en fase con el campo eléctrico.
3 Densidades de energía
3.1 Eléctrica
La densidad de energía eléctrica en cada punto del espacio viene dada por
Esta densidad de energía es oscilante con frecuencia 2ω en torno a un valor fijo. La densidad de energía se anula cuando lo hace el campo eléctrico.
3.2 Magnética
Una vez que conocemos el campo magnético, podemos hallar la densidad de energía magnética en cada punto del espacio
Esta densidad de energía es oscilante con frecuencia 2ω en torno a un valor fijo. La densidad de energía se anula cuando lo hace el campo eléctrico.
