6.9. Placa en escuadra rotatoria
De Laplace
(→Posición del CIR {20}) |
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En estos dos puntos se cumple que la placa no puede atravesar a la escuadra y por tanto la velocidad de los puntos A y B debe ser tangencial a las barras de la escuadra, esto es, respectivamente a lo largo de los ejes <math>OX_0</math> y <math>OY_0</math> | En estos dos puntos se cumple que la placa no puede atravesar a la escuadra y por tanto la velocidad de los puntos A y B debe ser tangencial a las barras de la escuadra, esto es, respectivamente a lo largo de los ejes <math>OX_0</math> y <math>OY_0</math> | ||
| - | <center><math>\vec{v}^A_{20}=v^A_{20}\vec{\ | + | <center><math>\vec{v}^A_{20}=v^A_{20}\vec{\jmath}_0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}^B_{20}=v^B_{20}\vec{\imath}_0</math></center> |
Estas velocidades deben ser ortogonales a los vectores de posición relativos al centro instantáneo de rotación <math>I_{20}</math>. Por ello, trazamos las perpendiculares a las barras de la escuadra en los puntos A y B. Su intersección es el CIR <math>I_{20}</math>. | Estas velocidades deben ser ortogonales a los vectores de posición relativos al centro instantáneo de rotación <math>I_{20}</math>. Por ello, trazamos las perpendiculares a las barras de la escuadra en los puntos A y B. Su intersección es el CIR <math>I_{20}</math>. | ||
Este punto se encuentra en el vértice de un rectángulo cuyo vértice opuesto es el punto O y una de cuyas diagonales es el lado AB de la placa. | Este punto se encuentra en el vértice de un rectángulo cuyo vértice opuesto es el punto O y una de cuyas diagonales es el lado AB de la placa. | ||
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===Expresión en la base “0”=== | ===Expresión en la base “0”=== | ||
La posición del CIR en la base “0” es inmediata observando que se encuentra en el vértice de un rectángulo cuyo vértice opuesto es O. Por adición de vectores se cumple | La posición del CIR en la base “0” es inmediata observando que se encuentra en el vértice de un rectángulo cuyo vértice opuesto es O. Por adición de vectores se cumple | ||
Revisión de 10:34 25 ene 2011
Contenido |
1 Enunciado
Se tiene un sistema formado por un plano horizontal (sólido “1”) en uno de cuyos puntos, O, se encuentra articulada una escuadra (sólido “0”) formada por dos barras ortogonales entre sí. Esta escuadra gira en torno a O, resultando variable el ángulo θ(t) que forma la barra OX0 con el plano horizontal “1” (ver figura). Sobre la escuadra se encuentra permanentemente apoyada por sus vértices inferiores, A y B, una placa cuadrada de lado L, cuyo lado inferior AB mantiene en todo momento su horizontalidad respecto al plano “1”.
- En función del ángulo θ, localice geométricamente de forma razonada el centro instantáneo de rotación del movimiento {20}. Exprese su vector de posición relativo al punto O tanto en la base ligada al sólido “0” como en la ligada al sólido “1”. ¿Dónde se localiza el CIR del movimiento {21}?
- En función de θ y de
, calcule las velocidades de deslizamiento de la placa “2” respecto a la escuadra “0” en los puntos de contacto A y B.
2 Centro instantáneo de rotación
2.1 Posición del CIR {20}
Localizamos la posición del CIR I20 a partir de la velocidad de dos puntos en dicho movimiento. En este caso, lo más sencillo es considerar los dos puntos de contacto A y B.
En estos dos puntos se cumple que la placa no puede atravesar a la escuadra y por tanto la velocidad de los puntos A y B debe ser tangencial a las barras de la escuadra, esto es, respectivamente a lo largo de los ejes OX0 y OY0
Estas velocidades deben ser ortogonales a los vectores de posición relativos al centro instantáneo de rotación I20. Por ello, trazamos las perpendiculares a las barras de la escuadra en los puntos A y B. Su intersección es el CIR I20.
Este punto se encuentra en el vértice de un rectángulo cuyo vértice opuesto es el punto O y una de cuyas diagonales es el lado AB de la placa.
2.2 Expresión en la base “0”
La posición del CIR en la base “0” es inmediata observando que se encuentra en el vértice de un rectángulo cuyo vértice opuesto es O. Por adición de vectores se cumple
y por tratarse de un paralelogramo
así que la posición del CIR respecto a O es
Los dos sumandos se encuentran en la dirección de los ejes
Las dos distancias las obtenemos observando que el triángulo OAB es rectángulo en O, su hipotenusa mide L y el ángulo en el vértice B es igual a θ. Por ello
y la posición del CIR expresada en la base ligada al sólido “0” vale
Este resultado nos dice que en el sistema “0”, las sucesivas posiciones del CIR forman un arco de circunferencia de radio L y tal que el vector de posición del CIR forma un ángulo θ con el eje OX0
2.3 Expresión en la base “1”
Una vez que tenemos la expresión en el sistema “0” es inmediato pasarla al sistema “1” simplemente relacionando las bases vectoriales. Se cumple
Sustituyendo en la expresión obtenida en la sección anterior
Agrupando términos
En esta expresión reconocemos las razones trigonométricas del ángulo doble:
También podemos llegar a este resultado geométricamente, observando que si el ángulo que forma el vector 
con el eje OX0 vale θ y el que éste forma con el OX1 vale también θ, el que forma con OX1 es igual a 2θ, de donde es inmediato el vector de posición anterior.
2.4 Localización del CIR {21}
El movimiento {21} es una traslación, ya que la orientación de la placa “2” no cambia respecto al sólido “1” aunque se desplzce. Por ello, el CIR I21 se encontrará en el infinito.
Por el teorema de los tres centros, los CCIIR I20, I01 e I21 se encuentran alineados. I01 es el punto O de articulación de la escuadra con el plano horizontal. El I20 es el que hallamos en la sección anterior. Por tanto, el CIR I_{21} se encuentra en el infinito según la recta que pasa por estos dos puntos, que es una que forma un ángulo 2θ con el eje OX1.
