Campos equiproyectivos y campo de momentos
De Laplace
(→Aplicación a un punto genérico) |
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y aplicándolo al mismo punto con los otros vectores de la base | y aplicándolo al mismo punto con los otros vectores de la base | ||
| - | <center><math>-u_y=-\omega_zx-\omega_xz</math>{{qquad}}<math>-u_z=\omega_yx-\omega_xy</math></center> | + | <center><math>-u_y=-\omega_zx-\omega_xz\,</math>{{qquad}}<math>-u_z=\omega_yx-\omega_xy\,</math></center> |
esto es | esto es | ||
<center><math>\vec{u}(\vec{r}) = \left(\omega_yz-\omega_zy\right)\vec{\imath}+\left(\omega_zx-\omega_xz\right)\vec{\jmath}+\left(\omega_xy-\omega_yx\right)\vec{k}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ x & y & z\end{matrix}\right|=\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center> | <center><math>\vec{u}(\vec{r}) = \left(\omega_yz-\omega_zy\right)\vec{\imath}+\left(\omega_zx-\omega_xz\right)\vec{\jmath}+\left(\omega_xy-\omega_yx\right)\vec{k}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ x & y & z\end{matrix}\right|=\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center> | ||
| + | |||
| + | y volviendo a nuestro campo original, <math>\vec{v}</math> | ||
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| + | <center><math>\vec{v}(\vec{r})=\vec{\vec{0}) +\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center> | ||
===Campo de momentos implica campo equiproyectivo=== | ===Campo de momentos implica campo equiproyectivo=== | ||
Revisión de 09:41 18 jun 2008
Contenido |
1 Enunciado del teorema
Un campo vectorial es equiproyectivo sí y solo sí es un campo de momentos de un vector deslizante.
2 Demostración
2.1 Campo equiproyectivo implica campo de momentos
La condición de equiproyectividad para un campo vectorial 
puede expresarse como que para cualesquiera dos puntos 
y 
se verifica
se trata de demostrar que si se cumple esta condición, puede escribirse en la forma
Para demostrarlo, suponemos un sistema de referencia con origen en el punto 
y cuyos ejes vienen caracterizados por los vectores unitarios 
, 
y 
.
2.1.1 Referencia al origen
Definamos en primer lugar el campo, también equiproyectivo
Este campo cumple
2.1.2 Equiproyectividad aplicada a cada vector de la base con el origen
Si aplicamos la condición de equiproyectividad de 
a los dos puntos 
y nos queda
esto quiere decir que 
es ortogonal a , esto es, no posee componente X y puede escribirse como
Aplicando el mismo razonamiento a y a nos queda
2.1.3 Equiproyectividad aplicada a pares de vectores de la base
La condición de equiproyectividad también puede aplicarse al par de puntos y . En este caso tenemos
Operando igualmente con los otros dos pares nos queda
Si llamamos
el valor de en , y se escribe
2.1.4 Aplicación a un punto genérico
Si ahora aplicamos la condición de equiproyectividad a un punto cualquiera
y al origen nos queda
esto es, que el campo en cada punto es ortogonal al vector de posición de dicho punto.
Si ahora aplicamos la condición al mismo punto 
y al punto tenemos
− ux = ωzy − ωyzy aplicándolo al mismo punto con los otros vectores de la base
esto es
y volviendo a nuestro campo original, 
