Movimiento plano (G.I.T.I.)
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
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Matemáticamente tenemos que, para todo punto del sólido debe cumplirse en todo instante que | Matemáticamente tenemos que, para todo punto del sólido debe cumplirse en todo instante que | ||
| - | <center><math>\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{ | + | <center><math>\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{k}=0\qquad\forall t,\ \forall P</math></center> |
| - | Siendo <math>\vec{ | + | Siendo <math>\vec{k}</math> un vector constante, unitario y normal al plano director. Siempre podemos tomar el sistema de referencia ligado al sólido 1 de tal forma que el vector normal vaya en la dirección del eje OZ (o cualquier otra dirección fija que nos convenga) |
Un movimiento plano de un sólido satisface, entre otras, las siguientes propiedades: | Un movimiento plano de un sólido satisface, entre otras, las siguientes propiedades: | ||
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;Las aceleraciones de todos los puntos se siempre paralelas al plano director: Puesto que la identidad anterior se cumple en cada instante, podemos derivar en ella respecto al tiempo | ;Las aceleraciones de todos los puntos se siempre paralelas al plano director: Puesto que la identidad anterior se cumple en cada instante, podemos derivar en ella respecto al tiempo | ||
| - | <center><math>0 = \left.\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}(\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{ | + | <center><math>0 = \left.\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}(\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{k})\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}(\vec{v}^P_{21})\right|_1\cdot\vec{k} = \vec{a}^P_{21}\cdot\vec{k}</math></center> |
;La trayectoria de cada uno de los puntos es plana: Puesto que la velocidad y la aceleración de cada punto son tangentes al plano director, el vector binormal de cada trayectoria es siempre perpendicular al plano y por tanto constante. | ;La trayectoria de cada uno de los puntos es plana: Puesto que la velocidad y la aceleración de cada punto son tangentes al plano director, el vector binormal de cada trayectoria es siempre perpendicular al plano y por tanto constante. | ||
| - | ;La velocidad angular es perpendicular al plano director (o nula): Por tratarse de un movimiento rígido, para cualesquiera dos puntos del sólido 2 se cumple | + | ;La velocidad angular del movimiento {21} es perpendicular al plano director (o nula): Por tratarse de un movimiento rígido, para cualesquiera dos puntos del sólido 2 se cumple |
<center><math>\vec{v}^Q_{21}=\vec{v}^P_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PQ}</math></center> | <center><math>\vec{v}^Q_{21}=\vec{v}^P_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PQ}</math></center> | ||
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:Multiplicando aquí escalarmente por el vector normal al plano director | :Multiplicando aquí escalarmente por el vector normal al plano director | ||
| - | <center><math>\vec{ | + | <center><math>\vec{k}\cdot\vec{v}^Q_{21}=\vec{k}\cdot\vec{v}^P_{21}+\vec{B}\cdot(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{PQ})</math>{{tose}} <math>0 = 0 + (\vec{k}\times\vec{\omega}_{21})\cdot\overrightarrow{PQ}</math></center> |
:Puesto que esta identidad debe cumplirse para cualquier par de puntos, la única posibilidad es que | :Puesto que esta identidad debe cumplirse para cualquier par de puntos, la única posibilidad es que | ||
| - | <center><math>\vec{ | + | <center><math>\vec{k}\times\vec{\omega}_{21}=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad\begin{cases} \vec{\omega}_{21}=\vec{0} & \\ \mbox{ o } & \\ \vec{\omega}_{21}\parallel\vec{k} &\end{cases}\qquad\Rightarrow\qquad\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\vec{k}</math></center> |
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| + | ;La aceleración angular del movimiento {21} es perpendicular al plano director: Es consecuencia inmediata de que la velocidad angular posea dirección constante | ||
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| + | <center><math>\vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|=\frac{\mathrm{d}\omega_{21}}{\mathrm{d}t}\vec{k}=\alpha_{@1}\vec{k}</math></center> | ||
==Centro instantáneo de rotación (C.I.R.)== | ==Centro instantáneo de rotación (C.I.R.)== | ||
Revisión de 22:37 30 nov 2010
Contenido |
1 Definición de movimiento plano
De entre los posibles movimientos de un sólido rígido, se dice que un sólido “2” realiza un movimiento plano respecto a un triedro de referencia “1” si los desplazamientos de todos sus puntos son permanentemente paralelos a un plano de dicho triedro (plano director, ΠD), siendo constante la orientación de dicho plano.
Así, por ejemplo, el movimiento que realiza el chasis de un coche, respecto a la calzada por la que éste circula, es un movimiento plano.
También lo es el movimiento de una de sus ruedas cuando el coche avanza en línea recta. Sin embargo, en ese caso, el plano director no es el plano de la calzada, sino u perpendicular a ella.
Matemáticamente tenemos que, para todo punto del sólido debe cumplirse en todo instante que
Siendo 
un vector constante, unitario y normal al plano director. Siempre podemos tomar el sistema de referencia ligado al sólido 1 de tal forma que el vector normal vaya en la dirección del eje OZ (o cualquier otra dirección fija que nos convenga)
Un movimiento plano de un sólido satisface, entre otras, las siguientes propiedades:
- Las velocidades de todos los puntos del sólidos se encuentran contenidas en planos paralelos
- Es la condición definitoria del movimiento plano.
- Las aceleraciones de todos los puntos se siempre paralelas al plano director
- Puesto que la identidad anterior se cumple en cada instante, podemos derivar en ella respecto al tiempo
- La trayectoria de cada uno de los puntos es plana
- Puesto que la velocidad y la aceleración de cada punto son tangentes al plano director, el vector binormal de cada trayectoria es siempre perpendicular al plano y por tanto constante.
- La velocidad angular del movimiento {21} es perpendicular al plano director (o nula)
- Por tratarse de un movimiento rígido, para cualesquiera dos puntos del sólido 2 se cumple
- Multiplicando aquí escalarmente por el vector normal al plano director
- Puesto que esta identidad debe cumplirse para cualquier par de puntos, la única posibilidad es que
- La aceleración angular del movimiento {21} es perpendicular al plano director
- Es consecuencia inmediata de que la velocidad angular posea dirección constante
