Triángulo en movimiento helicoidal
De Laplace
(→Ley horaria) |
(→Enunciado) |
||
Línea 1: | Línea 1: | ||
==Enunciado== | ==Enunciado== | ||
+ | [[Archivo:triangulo-rotante.png|right]] | ||
+ | |||
El triángulo de vértices A, B y C, constituye un sólido rígido en movimiento respecto del sistema de referencia fijo OXYZ. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos: | El triángulo de vértices A, B y C, constituye un sólido rígido en movimiento respecto del sistema de referencia fijo OXYZ. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos: | ||
- | * Los vértices A y B permanecen en todo instante sobre el eje OZ, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea: <math>\vec{v}^A = \vec{v}^B = v(t) \vec{k}</math>. | + | * Los vértices A y B permanecen en todo instante sobre el eje OZ, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea: <math>\vec{v}^A = |
- | * El vértice C se mueve describiendo la hélice <math>\Gamma</math>, que en el sistema OXYZ está descrita por las ecuaciones paramétricas siguientes (donde <math> | + | \vec{v}^B = v(t) \vec{k}</math>. |
+ | * El vértice C se mueve describiendo la hélice <math>\Gamma</math>, que en el sistema OXYZ está descrita por las ecuaciones paramétricas siguientes (donde <math>A</math> y <math>b</math> son constantes conocidas): | ||
- | <center><math>\vec{r}(\theta)= | + | <center><math>\vec{r}(\theta)= A\cos\theta\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}\,\theta\vec{\jmath}+ \frac{b}{2\pi}\theta\vec{k}</math></center> |
# Indique de forma razonada cuál es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en el movimiento descrito. Determine el vector velocidad angular en términos de los datos expresados en el enunciado. | # Indique de forma razonada cuál es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en el movimiento descrito. Determine el vector velocidad angular en términos de los datos expresados en el enunciado. | ||
# Exprese la componente normal de la aceleración del vértice C en un instante cualquiera, en función de los datos del enunciado. | # Exprese la componente normal de la aceleración del vértice C en un instante cualquiera, en función de los datos del enunciado. | ||
- | # Para el caso en que <math>v(t) = v_0</math> (cte.), y <math> | + | # Para el caso en que <math>v(t) = v_0</math> (cte.), y <math>b = \pi A</math>, calcule la aceleración del vértice C. Determine la ley horaria <math>s = s(t)</math> con que el punto C describe su trayectoria. |
==EIRMD== | ==EIRMD== |
Revisión de 17:44 14 nov 2010
Contenido |
1 Enunciado
El triángulo de vértices A, B y C, constituye un sólido rígido en movimiento respecto del sistema de referencia fijo OXYZ. De dicho movimiento se conocen los siguientes datos:
- Los vértices A y B permanecen en todo instante sobre el eje OZ, desplazándose ambos con igual velocidad instantánea: .
- El vértice C se mueve describiendo la hélice Γ, que en el sistema OXYZ está descrita por las ecuaciones paramétricas siguientes (donde A y b son constantes conocidas):
- Indique de forma razonada cuál es el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento en el movimiento descrito. Determine el vector velocidad angular en términos de los datos expresados en el enunciado.
- Exprese la componente normal de la aceleración del vértice C en un instante cualquiera, en función de los datos del enunciado.
- Para el caso en que v(t) = v0 (cte.), y b = πA, calcule la aceleración del vértice C. Determine la ley horaria s = s(t) con que el punto C describe su trayectoria.
2 EIRMD
El eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento se caracteriza porque en cada uno de sus puntos
Por otro lado, tenemos que, dados dos puntos cualesquiera del sólido
En este caso en concreto tenemos que las velocidades de A y B son iguales por lo que
Esto quiere decir que es paralelo a y por tanto
Pero esta misma direccion es la de las velocidades de A y B
Por tanto el EIRMD no es otro que el el eje que pasa por A y B: el eje Z.
La velocidad de deslizamiento, común a todos los puntos del sólido, será igual a la de A o B
3 Aceleración normal
La aceleración normal de C es igual a
siendo Rc el radio de curvatura de la trayectoria.
De la velocidad de C necesitamos la celeridad, pero solo conocemos la componente vertical que es igual a la velocidad de deslizamiento
Relacionamos ambas cosas observando que
siendo el vector tangente
A partir de las ecuaciones paramétricas de la hélice obtenemos el vector tangente
Por tanto la componente vertical de la velocidad de C es
y de aquí obtenemos la celeridad de C
El radio de curvatura de una hélice no es, como pudiera pensarse, igual a R, el radio del cilindro sobre el que se encuentra. Para calcularlo se emplea la fórmula general
En este caso resulta
Reuniendo ambos resultados obtenemos el módulo de la aceleración normal de C
Si deseamos esta aceleración normal en forma vectorial, debemos calcular el vector normal a la trayectoria que, en forma general, es
En este caso, este cálculo nos da
por lo que la aceleración normal es
4 Aceleración y ley horaria
4.1 Aceleración
Si v(t) = v0 la celeridad del punto C es
Si la celeridad es constante, el movimiento de C es uniforme y su aceleración tangencial nula
y por tanto toda la aceleración es normal, siendo su valor el que ya conocemos
4.2 Ley horaria
La ley horaria es inmediata, puesto que la celeridad es constante
También podemos dar, como ley horaria la variación del parámetro θ con el tiempo. Para ello observamos que
Si igualamos la componente z a la velocidad de deslizamiento
cumpliéndose la relación