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2.2. Evolvente de una circunferencia

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
m (→Velocidad y aceleración)
Línea 43: Línea 43:
==Ley horaria==
==Ley horaria==
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La rapidez con que se recorre la curva la da el módulo de la velocidad
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<center><math>\dot{s}=|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}} = A\omega^2 t</math></center>
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e integrando esta ecuación obtenemos el parámetro arco
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<center><math>s = \frac{A\omega^2t^2}{2}</math></center>
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de aquí podemos despejar el tiempo como función de la distancia
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<center><math>t = \frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{2s}{A}}</math></center>
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y sustituyendo en la expresión del vector de posición nos da la ecuación de la trayectoria en función del parámetro natural
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<center><math>\vec{r}(s) = A\left(\cos\left(\sqrt{\frac{2s}{A}}\right)+\sqrt{\frac{2s}{A}}\,\mathrm{sen}\left(\sqrt{\frac{2s}{A}}\right)\right)\vec{\imath}+A\left(\,\mathrm{sen}\left(\sqrt{\frac{2s}{A}}\right)-\sqrt{\frac{2s}{A}}\cos\left(\sqrt{\frac{2s}{A}}\right)\right)\vec{\jmath}</math></center>
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==Triedro de Frenet==
==Triedro de Frenet==
==Radio y centro de curvatura==
==Radio y centro de curvatura==
[[Categoría:Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)]]

Revisión de 19:28 4 oct 2010

Contenido

1 Enunciado

La evolvente de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio A que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto C donde el hilo deja de hacer contacto con el carrete forma un ángulo θ = ωt con el eje OX. Una partícula material se encuentra en el punto P situado en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.

  1. Determine el vector de posición de la partícula.
  2. Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
  3. Determine la ley horaria s = s(t).
  4. Halle los vectores tangente y normal a la trayectoria.
  5. Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura.

2 Vector de posición

Por adición de vectores

\vec{r}(t) = \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}

El vector \overrightarrow{OC} es radial y forma un ángulo ωt con el eje OX. Su módulo es A, el radio del carrete:

\overrightarrow{OC}=A\left(\cos(\omega t)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}\right)

El vector \overrightarrow{CP} es tangente a la circunferencia y por tanto perpendicular al radio. Obtenemos el unitario en esta dirección intercambiando las dos componentes del unitario radial y cambiándole el signo a una de ellas. El sentido lo da el que para ωt < π / 2 la componente X es positiva y la Y es negativa, por tanto

\frac{\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{CP}|} = \,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-\cos(\omega t)\vec{\jmath}

El módulo de \overrightarrow{CP} lo da la cantidad de hilo desenrollado hasta ese momento, igual al producto del radio por el ángulo, L = Aωt

\overrightarrow{CP}= A\omega t(\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-\cos(\omega t)\vec{\jmath})

Sumando los dos vectores obtenemos el vector de posición

\vec{r}(t) = A\left(\cos(\omega t)+\omega t\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\imath}+A\left(\,\mathrm{sen}(\omega t)-\omega t\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}

3 Velocidad y aceleración

3.1 Velocidad

Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos

\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=A\omega^2 t\cos(\omega t)\vec{\imath}+A\omega^2t\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}

3.2 Aceleración

Derivando de nuevo

\vec{a}(t) =\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=A\omega^2\left(\cos(\omega t)-\omega t\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\imath}+A\omega^2\left(\mathrm{sen}(\omega t)+\omega t\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}

4 Ley horaria

La rapidez con que se recorre la curva la da el módulo de la velocidad

\dot{s}=|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}} = A\omega^2 t

e integrando esta ecuación obtenemos el parámetro arco

s = \frac{A\omega^2t^2}{2}

de aquí podemos despejar el tiempo como función de la distancia

t = \frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{2s}{A}}

y sustituyendo en la expresión del vector de posición nos da la ecuación de la trayectoria en función del parámetro natural

\vec{r}(s) = A\left(\cos\left(\sqrt{\frac{2s}{A}}\right)+\sqrt{\frac{2s}{A}}\,\mathrm{sen}\left(\sqrt{\frac{2s}{A}}\right)\right)\vec{\imath}+A\left(\,\mathrm{sen}\left(\sqrt{\frac{2s}{A}}\right)-\sqrt{\frac{2s}{A}}\cos\left(\sqrt{\frac{2s}{A}}\right)\right)\vec{\jmath}

5 Triedro de Frenet

6 Radio y centro de curvatura

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/2.2._Evolvente_de_una_circunferencia"

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