2.2. Evolvente de una circunferencia
De Laplace
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| + | encuentra en el punto <math>P</math> situado en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando. | ||
| - | + | # Determine el vector de posición de la partícula. | |
| + | # Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula. | ||
| + | # Determine la ley horaria <math>s=s(t)</math>. | ||
| + | # Halle los vectores tangente y normal a la trayectoria. | ||
| + | # Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura. | ||
| - | + | ==Vector de posición== | |
| + | Por adición de vectores | ||
| - | + | <center><math>\vec{r(t) = \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}</math></center> | |
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| + | <center><math>\overrightarrow{OC}=A\left(\cos(\omega t)\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}</math></center> | ||
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| + | El vector <math>\overrightarrow{CP}</math> es tangente a la circunferencia y por tanto perpendicular al radio. Obtenemos el unitario en esta dirección intercambiando las dos componentes del unitario radial y cambiándole el signo a una de ellas. El sentido lo da el que para <math>\omega t<\pi/2</math> la componente X es positiva y la Y es negativa, por tanto | ||
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| + | <center><math>\frac{\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{CP}|} = \,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-\cos(\omega t)\vec{\jmath}</math></center> | ||
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| + | El módulo de <math>\overrightarrow{CP}</math> lo da la cantidad de hilo desenrollado hasta ese momento, <math>L = A\omega t</math> | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{CP}= L = A\omega t(\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\imath}-\cos(\omega t)\vec{\jmath})</math></center> | ||
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| + | Sumando los dos vectores obtenemos el vector de posición | ||
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| + | <center><math>\vec{r}(t) = A\left(\cos(\omega t)+\omega t\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)\vec{\imath}+A\left(\,\mathrm{sen}(\omega t)-\omega t\cos(\omega t)\right)\vec{\jmath}</math></center> | ||
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| + | ==Velocidad y aceleración== | ||
| + | ==Ley horaria== | ||
| + | ==Triedro de Frenet== | ||
| + | ==Radio y centro de curvatura== | ||
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Revisión de 15:54 4 oct 2010
Contenido |
1 Enunciado
La evolvente de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio A que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto C donde el hilo deja de hacer contacto con el carrete forma un ángulo θ = ωt con el eje OX. Una partícula material se encuentra en el punto P situado en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.
- Determine el vector de posición de la partícula.
- Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
- Determine la ley horaria s = s(t).
- Halle los vectores tangente y normal a la trayectoria.
- Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura.
2 Vector de posición
Por adición de vectores
El vector 
es radial y forma un ángulo ωt con el eje OX. Su módulo es A, el radio del carrete:
El vector 
es tangente a la circunferencia y por tanto perpendicular al radio. Obtenemos el unitario en esta dirección intercambiando las dos componentes del unitario radial y cambiándole el signo a una de ellas. El sentido lo da el que para ωt < π / 2 la componente X es positiva y la Y es negativa, por tanto
El módulo de lo da la cantidad de hilo desenrollado hasta ese momento, L = Aωt
Sumando los dos vectores obtenemos el vector de posición
