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| Línea 4: |
Línea 4: |
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| | El vector <math>\vec{a}</math> tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de 36.0<math>^{\circ}</math> con el eje <math>X</math>, mientras que el vector <math>\vec{b}</math> tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje <math>X</math>. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno. | | El vector <math>\vec{a}</math> tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de 36.0<math>^{\circ}</math> con el eje <math>X</math>, mientras que el vector <math>\vec{b}</math> tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje <math>X</math>. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno. |
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| - | === Solución===
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| - | ====Teoremas del seno y del coseno ====
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| - | \picskip{0}
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| - | \parpic[r]{\includegraphics{\camino/triangulo.eps}}
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| - | El triángulo de la derecha nos sirve para ilustrar los enunciados del teorema del seno y del teorema del
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| - | coseno.
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| - | \paragraph{Toerema del seno:} dado un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, con ángulos <math>\hat{A}</math>, <math>\hat{B}</math>,
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| - | <math>\hat{C}</math>, indicados en la figura, se cumple
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| - | \begin{equation}
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| - | \dfrac{a}{\sen \hat{A}}= \dfrac{b}{\sen \hat{B}}= \dfrac{c}{\sen \hat{C}}
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| - | \label{teorema_seno}
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| - | \end{equation}
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| - | Vemos que relaciona cada lado con el seno del ángulo opuesto a ese lado.
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| - | \paragraph{Teorema del coseno:} dado el triángulo de la figura, la longitud de un lado se expresa como
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| - | función de las longitudes de los otros dos lados y del ángulo opuesto como
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| - | \begin{equation}
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| - | \left.
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| - | \begin{array}{l}
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| - | a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}\\
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| - | b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\hat{B}\\
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| - | c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\hat{C}
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| - | \end{array}
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| - | \right.
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| - | \label{teorema_coseno}
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| - | \end{equation}
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| - | ====Suma de los vectores====
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| - | \parpic[l]{\includegraphics{\camino/suma.eps}}
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| - | Vamos a hacer la suma gráficamente. Para ello, podemos colocar un vector detrás de otro y unir el punto
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| - | de partida con el punto final. Como se observa en la figura, obtenemos un triángulo cuyo tercer lado
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| - | es el vector <math>\vec{c}=\ab+\vec{b}</math> que buscamos. De este triangulo conocemos las longitudes de los
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| - | lados correspondientes a los vectores <math>\ab</math> y <math>\vec{b}</math> y el ángulo <math>\delta</math> que forma el vector
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| - | <math>\ab</math> con el eje <math>X</math>.
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| - | Para determinar gráficamente el vector suma necesitamos
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| - | calcular su módulo (la longitud del lado del triangulo) y el ángulo que forma con el eje <math>X</math> (<math>\gamma=\delta+\beta)</math>.
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| - | Usando el teorema del coseno calculamos el módulo del vector <math>\vec{c}</math>
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| - | \begin{equation}
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| - | c=(a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\delta)^{1/2}
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| - | \label{c_suma}
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| - | \end{equation}
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| - | Una vez conocido <math>c</math> calculamos el ángulo <math>\beta</math> usando el teorema del seno
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| - | \begin{equation}
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| - | \dfrac{c}{\sen\delta}=\dfrac{b}{\sen\beta}\Longrightarrow
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| - | \sen{\beta} = \dfrac{b}{c}\sen\delta
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| - | \label{beta_suma}
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| - | \end{equation}
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| - | Sustituyendo los valores numéricos dados por el enunciado obtenemos
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| - | \begin{equation}
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| - | \left.
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| - | \begin{array}{l}
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| - | c=(a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\delta)^{1/2}=4.13\\ \\
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| - | \beta = \arcsen\left(\dfrac{b}{c}\sen\delta\right)=85.0^{\circ}=1.48\un{rad}\\ \\
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| - | \gamma=\delta+\beta=121^{\circ}=2.11\un{rad}
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| - | \end{array}
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| - | \right.
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| - | \label{res_suma}
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| - | \end{equation}
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| - | Ahora podemos calcular las componentes cartesianas del vector <math>\vec{c}</math>
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| - | \begin{equation}
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| - | \vec{c} = c_x\,\ib + c_y\,\jb = c\,\cos{\gamma}\,\ib + c\,\sen\gamma\,\jb =
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| - | -2.13\,\ib + 3.54\,\jb
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| - | \label{c_suma_cart}
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| - | \end{equation}
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| - | Vemos que el resultado es compatible con el dibujo que hemos utilizado.
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| - | ====Resta de los vectores ====
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| - | \parpic[l]{\includegraphics{\camino/resta.eps}}
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| - | El procedimiento es similar al caso de la suma. La diferencia es que al final del vector <math>\ab</math> colocamos
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| - | el vector <math>-\vec{b}</math>, como se indica en la figura. Vemos en el dibujo que el ángulo <math>\theta</math> es
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| - | el suplementario de <math>\delta</math>, es decir <math>\theta=\pi-\delta</math> (trabajando en radianes). Como en el apartado
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| - | anterior, usamos el teorema del coseno para calcular el módulo del vector <math>\vec{c}=\ab-\vec{b}</math>
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| - | \picskip{0}
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| - | \begin{equation}
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| - | c=\left( a^2 + b^2 - 2\,a\,b\,\cos\theta \right)^{1/2}=\left( a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos(\pi-\delta) \right)^{1/2}=
| |
| - | \left( a^2+b^2+2\,a\,b\,\cos\delta \right)^{1/2}
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| - | \label{c_resta}
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| - | \end{equation}
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| - | Con el teorema del seno calculamos el ángulo <math>\beta</math>
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| - | \begin{equation}
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| - | \dfrac{b}{\sen\beta}=\dfrac{c}{\sen\theta}=\dfrac{c}{\sen(\pi-\delta)}=\dfrac{c}{\sen\delta}
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| - | \Longrightarrow
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| - | \sen\beta=\left( \dfrac{b}{c} \right)\sen\delta
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| - | \label{beta_resta}
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| - | \end{equation}
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| - | El ángulo que forma el vector <math>\vec{c}</math> con el eje <math>X</math> es <math>\gamma=\delta-\beta</math>. Sustituyendo
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| - | los valores numéricos obtenemos
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| - | \begin{equation}
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| - | \left.
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| - | \begin{array}{l}
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| - | c=\left( a^2+b^2+2\,a\,b\,\cos\delta \right)^{1/2}=12.4\\ \\
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| - | \beta=\arcsin\left( \dfrac{b}{c}\sen\delta \right)=19.4^{\circ}=0.339\un{rad}\\ \\
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| - | \gamma = \delta-\beta = 16.6^\circ=0.290\un{rad}
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| - | \end{array}
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| - | \right.
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| - | \label{res_resta}
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| - | \end{equation}
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| - | Las componentes cartesianas del vector resta son
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| - | \begin{equation}
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| - | \vec{c} = c_x\,\ib + c_y\,\jb = c\,\cos{\gamma}\,\ib + c\,\sen\gamma\,\jb =
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| - | 11.9\,\ib + 3.54\,\jb
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| - | \label{c_resta_cart}
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| - | \end{equation}
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| - | ==== Resolución usando una base cartesiana ====
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| - | El problema es más fácil de resolver si expresamos los vectores <math>\ab</math> y <math>\vec{b}</math> en la base
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| - | cartesiana
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| - | \begin{equation}
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| - | \left.
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| - | \begin{array}{l}
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| - | \ab = a\cos\delta\,\ib+a\sen\delta\,\jb = 4.85\,\ib + 3.53\,\jb\\ \\
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| - | \vec{b}=-7\,\ib
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| - | \end{array}
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| - | \right.
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| - | \end{equation}
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| - | Los vectores suma y resta son
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| - | \begin{equation}
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| - | \left.
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| - | \begin{array}{l}
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| - | \ab+\vec{b}= -2.15\,\ib + 3.53\,\jb\\ \\
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| - | \ab-\vec{b} = 11.9\,\ib + 3.53\,\jb
| |
| - | \end{array}
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| - | \right.
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| - | \end{equation}
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| - | [[Categoría:Vectores libres|0]]
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| - | [[Categoría:Física I (G.I.A.)]]
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tiene un módulo de 6.00 unidades y forma un ángulo de 36.0
con el eje X, mientras que el vector 
tiene un módulo de 7.00 unidades y apunta en la dirección negativa del eje X. Calcula la suma y la diferencia de estos dos vectores haciendo uso de los teoremas del seno y del coseno.
