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Cálculo de base dual

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Ortogonalidad)
(→Ortogonalidad)
Línea 54: Línea 54:
Dada la simetría de la definición de los vectores de <math>B_2</math> nos basta con probarlo para el primero de sus vectores. Multiplicándolo por cada uno de los vectores de B_1 tenemos, para el primero
Dada la simetría de la definición de los vectores de <math>B_2</math> nos basta con probarlo para el primero de sus vectores. Multiplicándolo por cada uno de los vectores de B_1 tenemos, para el primero
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<center><math>\vec{v}_1\cdot\vec{w}_1 = \frac{\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3})}{\Delta} = \frac{\Delta}{\Delta} = 1</math></center>
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para el segundo y el tercero, aplicando que el producto vectorial es ortogonal a los dos vectores que lo forman
para el segundo y el tercero, aplicando que el producto vectorial es ortogonal a los dos vectores que lo forman
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<center><math>\vec{v}_2\cdot\vec{w}_1 = \frac{\vec{v}_2\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3})}{\Delta} = \frac{0}{\Delta} = 0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}_3\cdot\vec{w}_1 = \frac{\vec{v}_3\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3})}{\Delta} = \frac{0}{\Delta} = 0</math></center>
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Si se opera con <math>\vec{w}_2</math> o con <math>\vec{w}_3</math> el resultado es análogo.
Si se opera con <math>\vec{w}_2</math> o con <math>\vec{w}_3</math> el resultado es análogo.

Revisión de 09:35 26 sep 2010

Contenido

1 Enunciado

Sea B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} una base vectorial arbitraria. Sean \{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} tres vectores definidos por

\vec{w}_1=\frac{\vec{v}_2\times\vec{v}_3}{\Delta}        \vec{w}_2=\frac{\vec{v}_3\times\vec{v}_1}{\Delta}        \vec{w}_3=\frac{\vec{v}_1\times\vec{v}_2}{\Delta}        \Delta =\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)
1. Demuestre que el conjunto B_2=\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} es también una base (llamada base dual de B1). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?
2. Pruebe que se cumple
\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k=\begin{cases} 1 & i = k \\ 0 & i\neq 0\end{cases}
3. Demuestre que las componentes de un vector en la base B1 pueden calcularse proyectando sobre la base B2, esto es, si
\vec{F} = F_1\vec{v}_1 + F_2\vec{v}_2 + F_3\vec{v}_3
la componente k viene dada por
F_k = \vec{F}\cdot\vec{w}_k
4. Halle la base dual de la base
B_1 =\{\vec{\imath},\vec{\imath}+\vec{\jmath},\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\}
5. Calcule las componentes del vector
\vec{F} = 2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k}
en las bases del apartado anterior.

2 Carácter de base

En el espacio de tridimensional ordinario, cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes constituye una base.

Para demostrar la independencia lineal basta probar que el producto mixto de los tres vectores es nulo. Por tanto debemos hallar

P = \vec{w}_1\cdot(\vec{w}_2\times\vec{w}_3)

Sustituyendo las definiciones de cada uno de los vectores

P = \frac{(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)\cdot\left((\vec{v}_3\times\vec{v}_1)\times (\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\right)}{\Delta^3}

Para el triple producto vectorial tenemos, aplicando las propiedades del doble producto vectorial

(\vec{v}_3\times\vec{v}_1)\times (\vec{v}_1\times\vec{v}_2) = \left((\vec{v}_3\times\vec{v}_1)\cdot\vec{v}_2\right)\vec{v}_1-\overbrace{((\vec{v}_3\times\vec{v}_1)\cdot\vec{v}_1)}^{=0}\vec{v}_2= \Delta\,\vec{v}_1

y por tanto el producto mixto de los tres vectores vale

P = \frac{(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)\cdot\vec{v}_1}{\Delta^2} = \frac{1}{\Delta}

Por tanto, si B1 es una base, B2 también lo es y el producto mixto de los vectores de B2 es el inverso de los de B1.

3 Ortogonalidad

Los vectores de la base B1 no son ortogonales entre sí, como tampoco lo son los de la base B2. sin embargo, los de una de las bases son ortogonales a los de la otra (y viceversa).

\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k = \begin{cases} 1 & i=k\\ 0 & i\neq 0\end{cases}

Dada la simetría de la definición de los vectores de B2 nos basta con probarlo para el primero de sus vectores. Multiplicándolo por cada uno de los vectores de B_1 tenemos, para el primero

\vec{v}_1\cdot\vec{w}_1 = \frac{\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)}{\Delta} = \frac{\Delta}{\Delta} = 1

para el segundo y el tercero, aplicando que el producto vectorial es ortogonal a los dos vectores que lo forman

\vec{v}_2\cdot\vec{w}_1 = \frac{\vec{v}_2\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)}{\Delta} = \frac{0}{\Delta} = 0        \vec{v}_3\cdot\vec{w}_1 = \frac{\vec{v}_3\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)}{\Delta} = \frac{0}{\Delta} = 0

Si se opera con \vec{w}_2 o con \vec{w}_3 el resultado es análogo.

4 Componentes de un vector

5 Caso particular

6 Ejemplo de cálculo de componentes

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/C%C3%A1lculo_de_base_dual"

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