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Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Teoremas del seno y del coseno)
(→Volumen de un paralelepípedo)
Línea 61: Línea 61:
Sean los puntos de coordenadas (en el SI) <math>O(1,0,2)</math>, <math>A(3,2,4)</math>, <math>B(2,6,8)</math> y <math>C(2,-3,1)</math>. Determine el volumen del paralelepípedo definido por los vectores <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math> y <math>\overrightarrow{OC}</math>.  
Sean los puntos de coordenadas (en el SI) <math>O(1,0,2)</math>, <math>A(3,2,4)</math>, <math>B(2,6,8)</math> y <math>C(2,-3,1)</math>. Determine el volumen del paralelepípedo definido por los vectores <math>\overrightarrow{OA}</math>, <math>\overrightarrow{OB}</math> y <math>\overrightarrow{OC}</math>.  
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Halle del mismo modo el volumen del paralelepípedo definido por los vectores <math>\overrightarrow{AO}</math>, <math>\overrightarrow{AB}</math> y <math>\overrightarrow{AC}</math>
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Halle del mismo modo el volumen del paralelepípedo definido por los vectores <math>\overrightarrow{AO}</math>, <math>\overrightarrow{AB}</math> y <math>\overrightarrow{AC}</math>.
Calcule igualmente el volumen del tetraedro irregular definido por estos cuatro puntos.
Calcule igualmente el volumen del tetraedro irregular definido por estos cuatro puntos.
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==[[Ejemplo de ecuación vectorial de un plano]]==
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Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre <math>\vec{a}= 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+6\vec{k}</math> y que contiene a un punto <math>P</math>, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia $OXYZ$ viene dada por el radiovector $\;\vec{\rm r}= \ii + 5
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\jj + 3 \kk$. Calcule la distancia que separa al origen $O$ de dicho plano. (Unidades del S.I.)
==[[Ejemplo de construcción de una base]]==
==[[Ejemplo de construcción de una base]]==

Revisión de 21:28 15 sep 2010

Contenido

1 Formulas posiblemente incorrectas

De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de análisis dimensional, R es una distancia y \vec{r} el vector de posición; t es el tiempo:

(a) \vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}
(b) \vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}
(c) \frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}
(d) (\vec{r}\times\vec{p})\cdot\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}
(e) \frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{R-\vec{r}}{t^2-t}
(f) \vec{F} = m\frac{\vec{v}\cdot\vec{v}}{R}
(g) |\vec{L}| = \vec{r}\cdot\vec{p}
(h) \frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)

2 Ejemplo de clasificación de vectores

De los siguientes vectores ligados con sus respectivos puntos de aplicación:

a) \vec{v}_1 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en A(3,1,1)\,
b) \vec{v}_2 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k} en B(1,2,0)\,
c) \vec{v}_3 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en C(-1,3,-1)\,
d) \vec{v}_4 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en D(-3,4,-1)\,
e) \vec{v}_5 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k} en E(7,-1,3)\,

indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.

3 Paralelogramo en cuadrilátero

Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

4 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores \overrightarrow{AP} y \overrightarrow{BP} son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que \overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}. Sea C el punto medio entre A y B. Pruebe que |\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{CA}|

5 Diagonales de un rombo

Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

6 Seno y coseno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

7 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)

y del seno

\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}

en un triángulo de lados a, b y c y ángulos opuestos α, β y γ.

8 Volumen de un paralelepípedo

Sean los puntos de coordenadas (en el SI) O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2, − 3,1). Determine el volumen del paralelepípedo definido por los vectores \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} y \overrightarrow{OC}.

Halle del mismo modo el volumen del paralelepípedo definido por los vectores \overrightarrow{AO}, \overrightarrow{AB} y \overrightarrow{AC}.

Calcule igualmente el volumen del tetraedro irregular definido por estos cuatro puntos.

9 Ejemplo de ecuación vectorial de un plano

Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre \vec{a}= 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+6\vec{k} y que contiene a un punto P, cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia $OXYZ$ viene dada por el radiovector $\;\vec{\rm r}= \ii + 5 

\jj + 3 \kk$. Calcule la distancia que separa al origen $O$ de dicho plano. (Unidades del S.I.)

10 Ejemplo de construcción de una base

Dados los vectores

\vec{v}=3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-12\vec{k}        \vec{a}=12\vec{\imath}-16\vec{\jmath}+29\vec{k}

Construya una base ortonormal dextrógira, tal que

  • El primer vector vaya en la dirección de \vec{v}
  • El segundo esté contenido en el plano definido por \vec{v} y \vec{a}
  • El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

11 Base dual

Sea B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} una base vectorial arbitraria. Sean \{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} tres vectores definidos por

\vec{w}_1=\frac{\vec{v}_2\times\vec{v}_3}{\Delta}        \vec{w}_2=\frac{\vec{v}_3\times\vec{v}_1}{\Delta}        \vec{w}_3=\frac{\vec{v}_1\times\vec{v}_2}{\Delta}        \Delta =\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)
1. Demuestre que el conjunto B_2=\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} es también una base (llamada base dual de B1). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?
2. Pruebe que se cumple
\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k=\begin{cases} 1 & i = k \\ 0 & i\neq 0\end{cases}
3. Demuestre que las componentes de un vector en la base B1 pueden calcularse proyectando sobre la base B2, esto es, si
\vec{F} = F_1\vec{v}_1 + F_2\vec{v}_2 + F_3\vec{v}_3
la componente k viene dada por
F_k = \vec{F}\cdot\vec{w}_k
4. Halle la base dual de la base
B_1 =\{\vec{\imath},\vec{\imath}+\vec{\jmath},\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\}
5. Calcule las componentes del vector
\vec{F} = 2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k}
en la base del apartado anterior.

12 Sistema de ecuaciones vectoriales

Demuestre que si se cumplen simultáneamente las condiciones

\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{A}\cdot\vec{C}        \vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times\vec{C}

siendo \vec{A}\neq \vec{0}, entonces \vec{B} = \vec{C}; pero si se cumple una de ellas y la otra no, entonces \vec{B}\neq\vec{C}.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_vectores_libres_(G.I.T.I.)"

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