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Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Sistema de ecuaciones vectoriales)
(→Paralelogramo en trapezoide)
Línea 29: Línea 29:
indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.
indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.
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==[[Paralelogramo en trapezoide]]==
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==[[Paralelogramo en cuadrilátero]]==
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Dado un trapezoide (cuadrilátero irregular que no tiene ningún lado paralelo a otro), demuestre, usando el álgebra vectorial,
+
Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial,
que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.
que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

Revisión de 21:12 15 sep 2010

Contenido

1 Formulas posiblemente incorrectas

De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de análisis dimensional, R es una distancia y \vec{r} el vector de posición; t es el tiempo:

(a) \vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}
(b) \vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}
(c) \frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}
(d) (\vec{r}\times\vec{p})\cdot\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}
(e) \frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{R-\vec{r}}{t^2-t}
(f) \vec{F} = m\frac{\vec{v}\cdot\vec{v}}{R}
(g) |\vec{L}| = \vec{r}\cdot\vec{p}
(h) \frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)

2 Ejemplo de clasificación de vectores

De los siguientes vectores ligados con sus respectivos puntos de aplicación:

a) \vec{v}_1 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en A(3,1,1)\,
b) \vec{v}_2 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k} en B(1,2,0)\,
c) \vec{v}_3 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en C(-1,3,-1)\,
d) \vec{v}_4 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k} en D(-3,4,-1)\,
e) \vec{v}_5 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k} en E(7,-1,3)\,

indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.

3 Paralelogramo en cuadrilátero

Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

4 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores \overrightarrow{AP} y \overrightarrow{BP} son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que \overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}. Sea C el punto medio entre A y B. Pruebe que |\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{CA}|

5 Diagonales de un rombo

Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

6 Seno y coseno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

7 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)

y del seno

\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}

en un triángulo de lados a, b y c y ángulos opuestos α, β y γ.

8 Ejemplo de construcción de una base

Dados los vectores

\vec{v}=3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-12\vec{k}        \vec{a}=12\vec{\imath}-16\vec{\jmath}+29\vec{k}

Construya una base ortonormal dextrógira, tal que

  • El primer vector vaya en la dirección de \vec{v}
  • El segundo esté contenido en el plano definido por \vec{v} y \vec{a}
  • El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

9 Base dual

Sea B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} una base vectorial arbitraria. Sean \{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} tres vectores definidos por

\vec{w}_1=\frac{\vec{v}_2\times\vec{v}_3}{\Delta}        \vec{w}_2=\frac{\vec{v}_3\times\vec{v}_1}{\Delta}        \vec{w}_3=\frac{\vec{v}_1\times\vec{v}_2}{\Delta}        \Delta =\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)
1. Demuestre que el conjunto B_2=\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} es también una base (llamada base dual de B1). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?
2. Pruebe que se cumple
\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k=\begin{cases} 1 & i = k \\ 0 & i\neq 0\end{cases}
3. Demuestre que las componentes de un vector en la base B1 pueden calcularse proyectando sobre la base B2, esto es, si
\vec{F} = F_1\vec{v}_1 + F_2\vec{v}_2 + F_3\vec{v}_3
la componente k viene dada por
F_k = \vec{F}\cdot\vec{w}_k
4. Halle la base dual de la base
B_1 =\{\vec{\imath},\vec{\imath}+\vec{\jmath},\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\}
5. Calcule las componentes del vector
\vec{F} = 2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k}
en la base del apartado anterior.

10 Sistema de ecuaciones vectoriales

Demuestre que si se cumplen simultáneamente las condiciones

\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{A}\cdot\vec{C}        \vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times\vec{C}

siendo \vec{A}\neq \vec{0}, entonces \vec{B} = \vec{C}; pero si se cumple una de ellas y la otra no, entonces \vec{B}\neq\vec{C}.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_vectores_libres_(G.I.T.I.)"

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