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Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)

De Laplace

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Construya una base ortonormal dextrógira, tal que
 
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* El primer vector vaya en la dirección de <math>\vec{v}</math>
 
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* El segundo esté contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math>
 
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* El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
 
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==[[Formulas posiblemente incorrectas]]==
==[[Formulas posiblemente incorrectas]]==
De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de [[ejemplos de análisis dimensional]], <math>R</math> es una distancia y <math>\vec{r}</math> el vector de posición; <math>t</math> es el tiempo:
De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de [[ejemplos de análisis dimensional]], <math>R</math> es una distancia y <math>\vec{r}</math> el vector de posición; <math>t</math> es el tiempo:
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:(h) <math>\frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)</math>
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Dados los vectores
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Construya una base ortonormal dextrógira, tal que
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* El primer vector vaya en la dirección de <math>\vec{v}</math>
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* El segundo esté contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math>
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* El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
==[[Base dual]]==
==[[Base dual]]==
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Sean <math>\{\vec{A}_1,\vec{A}_2,\vec{A}_3\}</math> tres vectores linealmente independientes. Sean <math>\{\vec{B}_1,\vec{B}_2,\vec{B}_3\}</math> tres vectores definidos por
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Sea <math>B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}</math> una base vectorial arbitraria. Sean <math>\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\}</math> tres vectores definidos por
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<center><math>\vec{w}_1=\frac{\vec{v}_2\times\vec{v}_3}{\Delta}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{w}_2=\frac{\vec{v}_3\times\vec{v}_1}{\Delta}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{w}_3=\frac{\vec{v}_1\times\vec{v}_2}{\Delta}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\Delta =\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)</math></center>
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: 1. Demuestre que el conjunto <math>B_2=\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\}</math> es también una base (llamada ''base dual'' de <math>B_1</math>). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?
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<center><math>\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k=\begin{cases} 1 & i = k \\ 0 & i\neq 0\end{cases}</math></center>
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: 3. Demuestre que las componentes de un vector en la base <math>B_1</math> pueden calcularse proyectando sobre la base <math>B_2</math>, esto es, si
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: 5. Calcule las componentes del vector
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<center><math>\vec{F} = 2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}</math></center>
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: en la base del apartado anterior.
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Revisión de 13:55 12 sep 2010

1 Formulas posiblemente incorrectas

De las siguientes expresiones, indique cuáles son necesariamente incorrectas. Aquí las diferentes letras representan las magnitudes definidas en el problema de ejemplos de análisis dimensional, R es una distancia y \vec{r} el vector de posición; t es el tiempo:

(a) \vec{F} = m\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{\vec{v}}
(b) \vec{F}\times(\vec{v}\times\vec{a}) = (\vec{p}\cdot\vec{a})\times\vec{a}
(c) \frac{\vec{L}}{R} = \vec{F}t-\vec{v}
(d) (\vec{r}\times\vec{p})\cdot\vec{L} = R(\vec{r}\cdot\vec{p})\vec{p}
(e) \frac{\vec{F}-\vec{p}/t}{m} = \frac{R-\vec{r}}{t^2-t}
(f) \vec{F} = m\frac{\vec{v}\cdot\vec{v}}{R}
(g) |\vec{L}| = \vec{r}\cdot\vec{p}
(h) \frac{W}{t} = \vec{F}\times\left(\vec{v}-\frac{R}{t}\right)

2 Ejemplo de construcción de una base

Dados los vectores

\vec{v}=3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-12\vec{k}        \vec{a}=12\vec{\imath}-16\vec{\jmath}+29\vec{k}

Construya una base ortonormal dextrógira, tal que

  • El primer vector vaya en la dirección de \vec{v}
  • El segundo esté contenido en el plano definido por \vec{v} y \vec{a}
  • El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.

3 Base dual

Sea B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} una base vectorial arbitraria. Sean \{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} tres vectores definidos por

\vec{w}_1=\frac{\vec{v}_2\times\vec{v}_3}{\Delta}        \vec{w}_2=\frac{\vec{v}_3\times\vec{v}_1}{\Delta}        \vec{w}_3=\frac{\vec{v}_1\times\vec{v}_2}{\Delta}        \Delta =\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)
1. Demuestre que el conjunto B_2=\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} es también una base (llamada base dual de B1). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?
2. Pruebe que se cumple
\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k=\begin{cases} 1 & i = k \\ 0 & i\neq 0\end{cases}
3. Demuestre que las componentes de un vector en la base B1 pueden calcularse proyectando sobre la base B2, esto es, si
\vec{F} = F_1\vec{v}_1 + F_2\vec{v}_2 + F_3\vec{v}_3
la componente k viene dada por
F_k = \vec{F}\cdot\vec{w}_k
4. Halle la base dual de la base
B_1 =\{\vec{\imath},\vec{\imath}+\vec{\jmath},\vec{i}+\vec{jmath}+\vec{k}\}
5. Calcule las componentes del vector
\vec{F} = 2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}
en la base del apartado anterior.
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_vectores_libres_(G.I.T.I.)"

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