4.7. Ejemplo de movimiento de precesión
De Laplace
(→Campo de aceleraciones) |
(→Campo de velocidades) |
||
| Línea 13: | Línea 13: | ||
<center><math>\vec{v}^P = \overbrace{\vec{v}^O}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=\vec{\omega}\times\vec{r}= | <center><math>\vec{v}^P = \overbrace{\vec{v}^O}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=\vec{\omega}\times\vec{r}= | ||
| - | \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\ 3\cos(t) & 3\,\mathrm{sen} | + | \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\ 3\cos(t) & 3\,\mathrm{sen}(t) & 4 \\ x & y & z\end{matrix}\right|</math></center> |
Separando en componentes cartesianas | Separando en componentes cartesianas | ||
<center><math>\begin{matrix} | <center><math>\begin{matrix} | ||
| - | v_x & = & \omega_y z - \omega_z y & = &3z\,\mathrm{sen} | + | v_x & = & \omega_y z - \omega_z y & = &3z\,\mathrm{sen}(t)-4y\\ |
v_y & = & \omega_z x - \omega_x z & = &4x - 3z\cos(t)\\ | v_y & = & \omega_z x - \omega_x z & = &4x - 3z\cos(t)\\ | ||
| - | v_z & = & \omega_x y - \omega_y x & = &3y\cos(t)-3x\,\mathrm{sen} | + | v_z & = & \omega_x y - \omega_y x & = &3y\cos(t)-3x\,\mathrm{sen}(t) |
\end{matrix}</math></center> | \end{matrix}</math></center> | ||
Revisión de 20:47 3 ago 2010
Contenido |
1 Enunciado
El movimiento de precesión de una peonza puede describirse como una rotación en torno a un eje instantáneo que a su vez está rotando, manteniéndose fijo el punto de apoyo. Supongamos el caso particular
- Determine el campo de velocidades del sólido.
- Determine el campo de aceleraciones del sólido. ¿Es la aceleración de un punto igual a la derivada de la velocidad en ese punto respecto al tiempo?
- Halle, para cada instante las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura de los puntos
2 Campo de velocidades
Por tratarse de una rotación pura
Separando en componentes cartesianas
3 Campo de aceleraciones
El campo de aceleraciones tiene la expresión general
En este caso la aceleración de O es nula, por estar permanentemente en reposo, mientras que la aceleración angular vale
Sustituyendo y separando en componentes cartesianas obtenemos
Puede comprobarse de manera inmediata que
y lo mismo para el resto de las componentes: la aceleración de un punto no es igual a la derivada de la velocidad instantánea de dicho punto respecto al tiempo. La razón es que al tener una velocidad no solo cambia la velocidad porque varía t. También x, y y z varían al desplazarse la partícula y por tanto deben ser incluidas en la derivacióin respecto al tiempo mediante la regla de la cadena.
