Cinemática del sólido rígido (G.I.T.I.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 22:12 26 jul 2010

Contenido

1 Concepto de sólido rígido
2 Condición de rigidez
3 Grados de libertad
4 Campo de velocidades
5 Movimiento de traslación
- 5.1 Traslación permanente
6 Movimiento de rotación

1 Concepto de sólido rígido

Una vez descrito el sistema más sencillo, formado por una sola partícula, podemos pasar a sistemas más complejos, considerándolos formados por un agregado de partículas interactuantes.

Existen toda una serie de leyes generales y teoremas de conservación para sistemas de partículas, pero aquí nos centraremos en un agregado muy concreto, que es el modelo denominado sólido rígido.

Los sistemas macroscópicos suelen clasificarse en diferentes estados de la materia: sólidos, líquidos, gases y plasmas. De estos, los tres últimos se agrupan conjuntamente en el concepto de fluidos, por oposición a los sólidos.

La diferencia entre un fluido y un sólido es que mientras el fluido se adapta a la forma del recipiente que lo contiene, el sólido no lo hace. También se distinguen en su comportamiento cuando se ejerce una fuerza tangente a su superficie (fuerza de cizalla). Un fluido adquiere una velocidad en la dirección de la fuerza (velocidad dependiente de la viscosidad del fluido), mientras que un sólido se deforma en dicha dirección.

Todos los sólidos son deformables cuando se aplica una fuerza sobre ellos, y el grado con que lo hacen se mide por su compresiblidad. En el caso de un resorte, esta deformabilidad se mide con la constante de recuperación que aparece en la ley de Hooke.

Cuanto menor es la compresibilidad de un sólido (o mayor su constante de recuperación) más indeformable es, más fuerza es necesaria para conseguir una dilatación dada. Por ejemplo, de acuerdo con la [[ley de Hooke], el estiramiento de un resorte viene dado por

$\Delta \vec{r}=\frac{\vec{F}}{k}$

cuando $k\to\infty$ la deformación tiende a cero, sea cual sea la fuerza aplicada.

Un primer estudio de los sólidos consiste, por tanto, en hacer el modelo de sólido completamente indeformable, o sólido rígido.

2 Condición de rigidez

Matemáticamente, un sólido rígido se caracteriza por ser un sistema de partículas tal que la distancia entre cada par de partículas que lo componen permanece constante en cada momento

$\left|\vec{r}_i-\vec{r}_k\right|=d_{ik}=\mathrm{cte}$

Elevando al cuadrado

$\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)=d_{ik}^2 =\mathrm{cte}$

y derivando esta expresión respecto al tiempo obtenemos una condición sobre las velocidades

$0 = 2\left(\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}\vec{r}_k}{\mathrm{d}t}\right)\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)=2\left(\vec{v}_i-\vec{v}_k\right)\cdot\left(\vec{r}_i-\vec{r}_k\right)$

El vector

$\vec{u}_{ik}=\frac{\vec{r}_i-\vec{r}_k}{\left|\vec{r}_i-\vec{r}_k\right|}$

es el unitario en la dirección de la recta que une los dos puntos, por lo que la condición de rigidez implica

$\vec{v}_i\cdot\vec{u}_{ik}=\vec{v}_k\cdot\vec{u}_{ik}$

¿Cómo se interpreta este resultado? El producto escalar de un vector por un unitario es la proyección de dicho vector en la dirección del unitario. Por tanto, la condición de rigidez implica que, dadas dos partículas, $i$ y $k$ , la proyección de sus respectivas velocidades sobre la recta que es la une es la misma. Por ello se dice que el campo de velocidades es equiproyectivo.

El que las dos proyecciones sean iguales quiere decir que la componente de las velocidades en esa dirección es la misma; las dos partículas avanzan o retroceden a lo largo de esa línea en igual medida, manteniendo su distancia relativa.

Otra forma de verlo es considerar que $\vec{v}_i-\vec{v}_k$ es la velocidad de la partícula $i$ respecto a la $k$ , y la condición de rigidez

$(\vec{v}_i-\vec{v}_k)\cdot\vec{u}_{ik} = 0$

nos dice que la velocidad relativa de una partícula respecto a otra es siempre perpendicular a la recta que las une. Si nos montamos en una partícula del sólido lo que vemos es que todas las demás partículas ni se acercan ni se alejan, sino que giran en torno a la posición que nos encontremos.

3 Grados de libertad

El número de grados de libertad de un sistema se define como el número de coordenadas del sistema menos el número de ligaduras independientes que relacionan dichas coordenadas. En muchos casos el número de grados de libertad equivale al número de variables necesarias para describir el movimiento del sistema.

¿Cuántos grados de libertad tiene un sólido rígido? El número de coordenadas es 3N, siendo N el número de partículas. En un sólido macroscópico este número es gigantesco, pero es claro que para describir el movimiento de un sólido no necesitamos tantas variables, ya que la condición de rigidez impone muchos vínculos.

Para ver el número de variables necesarias consideramos primero una sola partícula. Para dar su posición necesitamos 3 variables, por ejemplo, sus coordenadas cartesianas.

Situamos ahora la segunda partícula. Su posición tiene 3 coordenadas, pero una de ellas es conocida, ya que sabemos que la distancia a la primera partícula es constante. La posición de la segunda partícula se encuentra sobre una esfera de radio $d 12$ alrededor de la primera y para dar una posición sobre una esfera solo necesitamos 2 variables.

La tercera partícula se encuentra a una distancia $d 13$ de la primera y a una distancia $d 23$ de la segunda, por lo que solo necesitamos 1 variable para localizarla.

Para la cuarta y siguientes, la distancia a las tres primeras nos define de forma unívoca su posición, por lo que no precisamos variables adicionales.

Por tanto, el número de grados de libertad de un sólido rígido es 3+2+1 = 6. Dando seis datos, que pueden ser diferentes según las circunstancias, podemos describir de manera completa la posición y el estado de movimiento de un sólido rígido.

4 Campo de velocidades

Cuando un sólido se mueve, cada uno de sus puntos lo hará, en principio, con una velocidad diferente. Tenemos entonces que la distribución de velocidades forma un campo vectorial

$\vec{v}=\vec{v}(\vec{r})$

La velocidad de cada punto es un vector ligado a dicho punto y por tanto carece de sentido hablar de la “velocidad de un sólido”, como si fuera algo único. Podremos hablar de la velocidad de un punto del sólido, o en su caso, de la velocidad de su centro de masas, pero no de la velocidad del sólido como un todo.

La condición de rigidez impone limitaciones a las posibles distribuciones de velocidades. Solo aquellos movimientos que preservan las distancias entre los puntos son admisibles.

Puede demostrarse que la forma más general del campo de velocidades de un sólido es

$\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}_0+\vec{\omega}\times\vec{r}$

siendo $\vec{v}_0$ y $\vec{\omega}$ dos vectores independientes de la posición (pero no del tiempo; son vectores uniformes, pero no constantes). Aquí $\vec{r}$ es la posición respecto a un cierto punto O que tomamos como origen de coordenadas. Este es el conocido como Teorema de Chasles.

Antes de analizar esta solución en su forma general, consideraremos casos particulares de ella.

5 Movimiento de traslación

Supongamos, en primer lugar, que

$\vec{\omega}=\vec{0}$

En este caso, el campo de velocidades se reduce a

$\vec{v}(\vec{r})=\vec{v}_0$

esto es, todos los puntos del sólido se mueven con la misma velocidad instantánea. Cuando esto ocurre se dice que el sólido experimenta un movimiento de traslación.

Si fijamos un sistema de ejes al sólido, estos mantienen su orientación en un movimiento de traslación.

Hay que insistir en que hablamos de velocidades instantáneas y del movimiento relativo de los diferentes puntos del sólido. Un movimiento de traslación NO significa que el sólido se mueve en línea recta, o a velocidad constante.

Por ejemplo, consideremos el movimiento de un vagón de una noria. Puesto que éste no se da la vuelta, sino que conserva en todo momento su orientación vertical, llegamos a la conclusión de que el sólido experimenta un movimiento de traslación. Cada uno de sus puntos se mueve en cada instante con la misma velocidad que el resto de los puntos, aunque esta velocidad sea cambiante.

5.1 Traslación permanente

En el caso más restrictivo

$\vec{\omega}=\vec{0} \quad \forall t$

implica un movimiento de traslación permanente: los ejes ligados al sólido conservan su orientación en cada instante y el movimiento de cada uno de los puntos del sólido reproduce exactamente el de cualquier otro de ellos.

Este movimiento no tiene por qué ser ni rectilíneo ni uniforme. Como en el caso de la noria, es posible que cada uno de los puntos escriba una circunferencia en torno a un centro (siendo este centro diferente para cada punto del sólido).

6 Movimiento de rotación

Supongamos ahora que

$\vec{v}_0 = \vec{0}$

de forma que la velocidad instantánea de cada punto se reduce a

$\vec{v}(\vec{r})=\vec{\omega}\times\vec{r}$

Esta forma del campo de velocidades posee una serie de propiedades que lo identifican como movimiento de rotación:

Existe una línea recta (eje de rotación) cuyos puntos poseen velocidad nula
La velocidad de que cualquier otro punto es perpendicular al eje de rotación.
Todos los puntos a la misma distancia del eje poseen la misma celeridad.
La celeridad de cada punto es proporcional a su distancia al eje.
El sentido de las velocidades cumple la regla de la mano derecha respecto al vector $\vec{\omega}$ .

Veamos cada una de ellas por separado:

6.1 Eje instantáneo de rotación

De la expresión de la velocidad vemos de forma que inmediata que el origen de coordenadas posee velocidad nula

$\vec{v}(\vec{0})=\vec{\omega}\times\vec{0}=\vec{0}$

pero no es el único. Consideremos los puntos de la recta que pasa por el origen y posee la dirección dada por $\vec{\omega}$

$\vec{r}=\lambda\vec{\omega}$

Para todos estos puntos se cumple

$\vec{v}(\lambda\vec{\omega})=\vec{\omega}\times(\lambda\vec{\omega})=\lambda\overbrace{\vec{\omega}\times\vec{\omega}}^{=\vec{0}}=\vec{0}$

Por tanto, existe toda una recta de puntos en reposo. A esta recta se la denomina eje de rotación (o eje de giro). Su dirección es la del vector velocidad angula $\vec{\omega}$ .

6.2 Movimiento plano

Al tratarse de un producto vectorial

$\vec{v}(\vec{r})=\vec{\omega}\times\vec{r}\perp\vec{\omega}$

esto quiere decir que la velocidad en cada punto es perpendicular al eje de rotación y por tanto se encuentra contenida en un plano perpendicular a dicho eje.

Más aun, si consideramos dos puntos situados sobre la misma vertical (entendida como la dirección del eje de rotación)

$\vec{r}_2=\vec{r}_1 +\lambda\omega$

entonces la velocidad en estos dos puntos es exactamente la misma

$\vec{v}_2=\vec{\omega}\times\vec{r}_2=\vec{\omega}\times\vec{r}_1+\lambda\overbrace{\vec{\omega}\times\vec{\omega}}^{=\vec{0}}=\vec{v}_1$

Por tanto, no solo el movimiento de todos los puntos situados en un plano perpendicular al eje de giro queda contenido en dicho plano. Si tomamos planos paralelos la distribución de velocidades es idéntica en todos ellos.

6.3 Dependencia con la distancia

Tomando el módulo del producto vectorial obtenemos la celeridad de cada punto

$v = \left|\vec{\omega}\times\vec{r}\right| = \left|\vec{\omega}\right|\left|\vec{r}\right|\,\mathrm{sen}\,\theta$

pero

$\left|\vec{r}\right|\,\mathrm{sen}\,\theta = d$

siendo d la distancia al eje de giro. Por tanto, todos los puntos que se encuentren a la misma distancia del eje tienen la misma celeridad y además ésta es proporcional a la distancia al eje, esto es, un punto situado al doble de distancia que otro se mueve el doble de rápido.

$v = \omega d\,$

Dado que esta relación es la misma que se tiene para un movimiento circular, a $ω$ se la denomina velocidad angular y a $\vec{\omega}$ el vector velocidad angular.

6.4 Regla de la mano derecha

Por último, para el sentido de las velocidades, consideramos los puntos situados sobre una circunferencia contenida en un plano perpendicular al eje de giro y con centro en éste. Las velocidades de todos estos puntos están contenidas en el plano, sus direcciones son perpendiculares al eje de giro y al vector de posición radial, sus módulos son iguales, y su sentido viene dado por la regla de la mano derecha. Es tal que si nuestros dedos siguen el sentido de las velocidades, el pulgar indica el sentido de la velocidad angular.

6.5 La trayectoria NO es una circunferencia

Al estudiar el movimiento de rotación y describir las velocidades según la ley

$\vec{v}(\vec{r}) = \vec{\omega}\times\vec{r}$

se puede adquirir la idea errónea de que las partículas del sólido describe un movimiento circular. Eso NO es correcto.

Lo que hemos hecho es describir la distribución instantánea de velocidades, esto es, que velocidad tiene cada punto del sólido en un instante dado, pero no hemos analizado cómo se mueve cada punto a lo largo del tiempo (en términos llanos, hemos tomado una fotografía, no una película de vídeo).

Puesto que $\vec{v}_0$ y $\vec{\omega}$ son vectores variables en el tiempo, el movimiento de una partícula puede ser extremadamente complicado.

Consideremos el caso de un cilindro que rueda sobre el suelo. La línea de contacto esta formada por puntos con velocidad nula y por tanto se trata de un eje instantáneo de rotación. El cilindro está efectuando una rotación pura instantánea en torno a esta línea de contacto (y no respecto al eje del cilindro, como podría pensarse), pero la trayectoria de cada punto del cilindro no es una circunferencia, sino una cicloide (técnicamente, para los puntos que no son de la superficie exterior es una hipocicloide).

La razón es que aunque instantáneamente esté rotando en torno a esta línea, el eje de rotación va cambiando en el tiempo.

Otro ejemplo lo da una peonza. Su punto de apoyo puede considerarse fijo y el movimiento en cada instante es una rotación en torno un eje que pasa por este punto, pero, salvo en el caso particular de una peonza puramente vertical, la peonza experimenta movimientos de precesión (su eje instantáneo de rotación va rotando en torno a la vertical) y nutación (el eje oscila, subiendo y bajando) por lo que la trayectoria de una partícula de la peonza puede ser extremadamente complicada.

6.6 Movimiento con un punto fijo

Supongamos el caso particular $\vec{v}_0=\vec{0}\qquad\forall t$

En este caso tenemos un punto

$\vec{r}=\vec{0}$

para el cual la velocidad es siempre nula y, por tanto, se encuentra permanentemente en reposo.

El movimiento del sólido es, en cada instante una rotación en torno a un eje que pasa por este punto.

No podemos asegurar que haya más puntos en reposo, ya que la orientación del eje de giro puede cambiar con el tiempo haciendo que los puntos instantáneamente en reposo sean diferentes en cada momento.

El ejemplo típico de movimiento de un sólido con un punto fijo es el balanceo de una peonza o de un giróscopo

6.7 Movimiento con un eje fijo

Supongamos el caso aun más restrictivo

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{v}_0=\vec{0}\qquad\\qquad\vec{\omega}=\omega(t)\vec{k}\forall t

esto es, la velocidad angular, aunque variable en módulo, posee siempre la misma dirección.

En este caso, el eje de rotación es siempre el mismo y todos sus puntos están permanentemente en reposo. Se dice entonces que tenemos un movimiento con un eje fijo (eje permanente de rotación), y que el sólido es un rotor.

Este es el típico movimiento de un sólido ensartado a un eje permanente. Para este caso, sí es cierto que la trayectoria de los diferentes puntos es una circunferencia (o un arco de circunferencia).

Un ejemplo es el de un péndulo cuya barra es rígida y por tanto de longitud constante. La lenteja del péndulo efectúa un movimiento que, aunque oscilante, es de rotación en torno a un eje fijo.

Cinemática del sólido rígido (G.I.T.I.)

De Laplace

Revisión de 22:12 26 jul 2010

Contenido

1 Concepto de sólido rígido

2 Condición de rigidez

3 Grados de libertad

4 Campo de velocidades

5 Movimiento de traslación

5.1 Traslación permanente

6 Movimiento de rotación

6.1 Eje instantáneo de rotación

6.2 Movimiento plano

6.3 Dependencia con la distancia

6.4 Regla de la mano derecha

6.5 La trayectoria NO es una circunferencia

6.6 Movimiento con un punto fijo

6.7 Movimiento con un eje fijo

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 El ejemplo típico de movimiento de un sólido con un punto fijo es el balanceo de una peonza o de un giróscopo
+===Movimiento con un eje fijo===
+Supongamos el caso aun más restrictivo
+<center><math>\vec{v}_0=\vec{0}\qquad\\qquad\vec{\omega}=\omega(t)\vec{k}\forall t</math></center>
+esto es, la velocidad angular, aunque variable en módulo, posee siempre la misma dirección.
+En este caso, el eje de rotación es siempre el mismo y todos sus puntos están permanentemente en reposo. Se dice entonces que tenemos un movimiento con un eje fijo (''eje permanente de rotación''), y que el sólido es un ''rotor''.
+Este es el típico movimiento de un sólido ensartado a un eje permanente. Para este caso, sí es cierto que la trayectoria de los diferentes puntos es una circunferencia (o un arco de circunferencia).
+Un ejemplo es el de un péndulo cuya barra es rígida y por tanto de longitud constante. La lenteja del péndulo efectúa un movimiento que, aunque oscilante, es de rotación en torno a un eje fijo.
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