Espiral logarítmica
De Laplace
(→Tiempo en llegar al origen) |
(→Tiempo en llegar al origen) |
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Línea 84: | Línea 84: | ||
Este es el tiempo en llegar al centro. | Este es el tiempo en llegar al centro. | ||
- | Nótese que este valor de | + | Nótese que este valor de ''t'' corresponde a un valor de θ→<math>\infty</math>. Puesto que <math>\theta</math> representa el ángulo que el vector de posición forma con el eje X y que una circunferencia completa significa aumentar θ en 2π, vemos que la partícula da infinitas vueltas antes de llegar al origen, aunque para ello requiere un tiempo finito. Igualmente, aunque de infinitas vueltas, la distancia recorrida por la partícula es finita e igual a |
<center><math>\Delta s = v_0 t = \frac{b\sqrt{1+k^2}}{k}</math></center> | <center><math>\Delta s = v_0 t = \frac{b\sqrt{1+k^2}}{k}</math></center> |
Revisión de 15:45 25 jun 2010
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula recorre la espiral logarítmica de ecuación
donde b y k son constantes. El movimiento es uniforme a lo largo de la curva, con celeridad constante v0. En el instante inicial la partícula se encuentra en θ = 0
- Determine la ley horaria θ = θ(t).
- Calcule el tiempo que tarda en llegar a . ¿Cuántas vueltas da para ello?
- Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas en cada punto de la trayectoria.
- Determine la posición de los centros de curvatura de este movimiento.
2 Ley horaria
Para hallar la ley horaria θ = θ(t) aplicamos que el movimiento es uniforme y por tanto
Sin embargo, lo que se nos da es la trayectoria como función de la coordenada θ y la velocidad no es la derivada de la posición respecto a θ, sino respecto al tiempo. Para relacionar las dos cosas aplicamos la regla de la cadena
Aquí es una función que debemos determinar.
Tomando módulos
Derivando en la ecuación de la trayectoria
Podemos simplificar esta expresión definiendo dos vectores unitarios
Estos vectores verifican que son unitarios y ortogonales
y tienen por derivadas
Con ayuda de estos vectores, la posición se expresa
y la derivada respecto al ángulo θ
que es la expresión que ya teníamos, pero más concisa.
Imponiendo ahora que la celeridad es v0 queda
Para integrar esta ecuación separamos los diferenciales
e integramos, teniendo en cuenta que para t = 0, θ = 0
lo que nos da
Despejando de aquí
3 Tiempo en llegar al origen
El tiempo que tarda la partícula en llegar al origen lo obtenemos exigiendo que . La posición para cada valor de θ es igual a
Este vector se anulará en
Este es el tiempo en llegar al centro.
Nótese que este valor de t corresponde a un valor de θ→. Puesto que θ representa el ángulo que el vector de posición forma con el eje X y que una circunferencia completa significa aumentar θ en 2π, vemos que la partícula da infinitas vueltas antes de llegar al origen, aunque para ello requiere un tiempo finito. Igualmente, aunque de infinitas vueltas, la distancia recorrida por la partícula es finita e igual a
Esto es posible porque las suscesivas vueltas son cada vez más pequeñas.