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Energía potencial

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→En una dimensión)
(→En tres dimensiones)
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====En tres dimensiones====
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La expresión anterior se generaliza fácilmente al caso de un oscilador armónico tridimensional. El trabajo elemental es ahora
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Integrando desde la posición de equilibrio <math>\mathbf{r}=\mathbf{0}</math>
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<center><math>U(\mathbf{r}) = \int_\mathbf{0}^\mathbf{r}(kx\,\mathrm{d}x+ky\,\mathrm{d}y+kz\,\mathrm{d}z)=\frac{1}{2}k\left(x^2+y^2+z^2\right)</math></center>
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o, en términos del módulo del vector de posición
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<center><math>U(\mathbf{r}) = \frac{1}{2}k|\mathbf{r}|^2\,</math></center>
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===Fuerza gravitatoria===
===Fuerza gravitatoria===

Revisión de 00:18 16 feb 2010

Contenido

1 Fuerzas conservativas

El trabajo realizado por una fuerza cuando una partícula se mueve desde un punto A a un punto B depende en general del camino recorrido. Por ejemplo, una fuerza de rozamiento realiza un trabajo mayor cuanto mayor sea la distancia recorrida, aunque los puntos iniciales y finales sean los mismos en todos los caminos.

Existe una clase de fuerzas, denominadas fuerzas conservativas, para las cuales el trabajo entre dos puntos es independiente del camino que se emplea para ir de uno a otro

W_{A\to B}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C_1\ A}^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C_2\ A}^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

para una fuerza conservativa, por tanto, podemos omitir la indicación de la curva y escribir simplemente

W_{A\to B}= \int_A^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

donde la integral se calcula por un camino arbitrario. Eso sí, alguno hay que elegir, sea el que sea.

2 Energía potencial

La independencia del camino permite definir una función denominada energía potencial como el trabajo, cambiado de signo, para ir desde un punto fijo \mathbf{r}_0 (el origen de potencial) hasta el punto que deseemos:

U(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_0}^\mathbf{r} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}
  • La independencia del camino es necesaria para que podamos decir que la energía potencial como función solamente del punto \mathbf{r}. Si la integral dependiera del camino, para un mismo punto obtendríamos diferentes valores, según por donde hubiéramos llegado a él.
  • El origen de potencial \mathbf{r}_0 es aquel punto para el cual la energía potencial es cero. Dependiendo de cada problema pueden elegirse orígenes de potencial diferentes para la misma fuerza, pero una vez elegido, debe mantenerse siempre el mismo para que los cálculos sean correctos.
  • Si dada una fuerza conservativa, calculamos dos energías potenciales diferentes, tomando dos orígenes de potencial distintos, la diferencia entre ellas es una constante (en el sentido de que no resulta una función de la posición \mathbf{r})
U_1(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_1}^\mathbf{r}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}        U_2(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_2}^\mathbf{r}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}   \Rightarrow   U_2(\mathbf{r})-U_1(\mathbf{r})=\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{cte}
  • De su definición como un trabajo resulta que la energía potencial se mide en julios (J) en el SI.

3 Ejemplos

3.1 Peso

Tomando como origen la superficie terrestre (o, en general, una altura de referencia) la energía potencial debida a una fuerza constante, como el peso la calculamos a partir del trabajo elemental

\mathbf{F}=-mg\mathbf{k}        \mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}+\mathrm{d}z\mathbf{k}        \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=-mg\,\mathrm{d}z

Integrando esta cantidad

U(\mathbf{r}) =-\int_0^z(-mg\,\mathrm{d}z)= mg z\,

La energía potencial es proporcional a la altura. Si el punto donde hallamos esta energía está sobre el nivel de referencia, su energía potencial será positiva. Si esta por debajo, su energía potencial será negativa.

3.2 Ley de Hooke

3.2.1 En una dimensión

Supongamos un oscilador armónico en el cual una partícula sujeta a un muelle está obligada a moverse a lo largo de una recta. Simedimos la elongación desde la posición de equilibrio, la ley de Hooke queda

\mathbf{F}=-kx\mathbf{i}

y el trabajo elemental

\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{i}        \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=-kx\,\mathrm{d}x

Integrando desde la posición de equilibrio, que tomamos como origen de potencial

U(x) = -\int_0^x (-kx)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}kx^2

Si esta misma energía la expresamos en función de la longitud total del resorte

x = l - l_0\qquad\Rightarrow\qquad U(l) = \frac{1}{2}k(l-l_0)^2

Esta segunda expresión sigue teniendo como origen de potencial la posición de equilibrio.

Una expresión alternativa la podríamos obtener a partir de la expresión de la ley de Hooke incluyendo la longitud natural

\mathbf{F}=-k(l-l_0)\mathbf{i}

e integrando desde el punto de anclaje (l = 0), resultando la energía potencial

U'(l) = -\int_0^l (-k(l-l_0))\mathrm{d}l = \frac{1}{2}kl^2 - kll_0

Esta expresión tiene como origen de potencial el punto de anclaje. Se diferencia de la anterior en una constante

U(l) - U'(l) = \frac{1}{2}k(l-l_0)^2 - \left(\frac{1}{2}kl^2-kll_0\right) = \frac{1}{2}kl_0^2

Por este tipo de detalles es muy importante indicar explícitamente el origen de potencial.

3.2.2 En tres dimensiones

La expresión anterior se generaliza fácilmente al caso de un oscilador armónico tridimensional. El trabajo elemental es ahora

\mathbf{F}=-k\mathbf{r}=-kx\mathbf{i}-ky\mathbf{j}-kz \mathbf{k}        \mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{d}x\mathbf{i}+\mathrm{d}y\mathbf{j}+\mathrm{d}z\mathbf{k}   \Rightarrow   \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=-kx\,\mathrm{d}x-ky\,\mathrm{d}y-kz\,\mathrm{d}z

Integrando desde la posición de equilibrio \mathbf{r}=\mathbf{0}

U(\mathbf{r}) = \int_\mathbf{0}^\mathbf{r}(kx\,\mathrm{d}x+ky\,\mathrm{d}y+kz\,\mathrm{d}z)=\frac{1}{2}k\left(x^2+y^2+z^2\right)

o, en términos del módulo del vector de posición

U(\mathbf{r}) = \frac{1}{2}k|\mathbf{r}|^2\,

3.3 Fuerza gravitatoria

U(\mathbf{r}) = -\frac{GMm}{|\mathbf{r}|}\,

4 Cálculo de la fuerza a partir del potencial

Conocida la energía potencial, puede hallarse la fuerza calculando su gradiente:

\mathbf{F}=-\nabla U = -\frac{\partial U}{\partial x}\mathbf{i}-\frac{\partial U}{\partial y}\mathbf{j}-\frac{\partial U}{\partial z}\mathbf{k}

que en el caso de una función dependiente de una sola coordenada se reduce a una derivada ordinaria.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Energ%C3%ADa_potencial"

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 Aviso legal - Acerca de Laplace