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Energía potencial

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Energía potencial)
(→Energía potencial)
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<center><math>U(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_0}^\mathbf{r} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}</math></center>
<center><math>U(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_0}^\mathbf{r} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}</math></center>
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* La independencia del camino es necesaria para que podamos decir que la energía potencial como función solamente del punto <math>\mathbf{r}</math>. Si la integral dependiera del camino, para un mismo punto obtendríamos diferentes valores, según por donde hubiéramos llegado a él.
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* El origen de potencial <math>\mathbf{r}_0</math> es aquel punto para el cual la energía potencial es cero. Dependiendo de cada problema pueden elegirse orígenes de potencial diferentes para la misma fuerza, pero una vez elegido, debe mantenerse siempre el mismo para que los cálculos sean correctos.
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* Si dada una fuerza conservativa, calculamos dos energías potenciales diferentes, tomando dos orígenes de potencial distintos, la diferencia entre ellas es una constante (en el sentido de que no resulta una función de la posición <math>\mathbf{r}</math>)
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<center><math>U_1(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_1}^\mathbf{r}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>U_2(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_2}^\mathbf{r}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}</math>{{tose}}<math>U_2(\mathbf{r})-U_1(\mathbf{r})=\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{cte}</math></center>
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* De su definición como un trabajo resulta que la energía potencial se mide en julios (J) en el SI.
==Ejemplos==
==Ejemplos==

Revisión de 23:02 15 feb 2010

Contenido

1 Fuerzas conservativas

El trabajo realizado por una fuerza cuando una partícula se mueve desde un punto A a un punto B depende en general del camino recorrido. Por ejemplo, una fuerza de rozamiento realiza un trabajo mayor cuanto mayor sea la distancia recorrida, aunque los puntos iniciales y finales sean los mismos en todos los caminos.

Existe una clase de fuerzas, denominadas fuerzas conservativas, para las cuales el trabajo entre dos puntos es independiente del camino que se emplea para ir de uno a otro

W_{A\to B}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C_1\ A}^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! C_2\ A}^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

para una fuerza conservativa, por tanto, podemos omitir la indicación de la curva y escribir simplemente

W_{A\to B}= \int_A^B \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}

donde la integral se calcula por un camino arbitrario. Eso sí, alguno hay que elegir, sea el que sea.

2 Energía potencial

La independencia del camino permite definir una función denominada energía potencial como el trabajo, cambiado de signo, para ir desde un punto fijo \mathbf{r}_0 (el origen de potencial) hasta el punto que deseemos:

U(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_0}^\mathbf{r} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}
  • La independencia del camino es necesaria para que podamos decir que la energía potencial como función solamente del punto \mathbf{r}. Si la integral dependiera del camino, para un mismo punto obtendríamos diferentes valores, según por donde hubiéramos llegado a él.
  • El origen de potencial \mathbf{r}_0 es aquel punto para el cual la energía potencial es cero. Dependiendo de cada problema pueden elegirse orígenes de potencial diferentes para la misma fuerza, pero una vez elegido, debe mantenerse siempre el mismo para que los cálculos sean correctos.
  • Si dada una fuerza conservativa, calculamos dos energías potenciales diferentes, tomando dos orígenes de potencial distintos, la diferencia entre ellas es una constante (en el sentido de que no resulta una función de la posición \mathbf{r})
U_1(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_1}^\mathbf{r}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}        U_2(\mathbf{r})=-\int_{\mathbf{r}_2}^\mathbf{r}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}   \Rightarrow   No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): U_2(\mathbf{r})-U_1(\mathbf{r})=\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\mathrm{cte}
  • De su definición como un trabajo resulta que la energía potencial se mide en julios (J) en el SI.

3 Ejemplos

3.1 Peso

3.2 Ley de Hooke

3.3 Fuerza gravitatoria

Entre los casos importantes de fuerzas conservativas tenemos:

  • El peso, para el cual, si el origen de potencial es la superficie terrestre y z la altura sobre ella:
U(\mathbf{r}) = mg z\,
  • Más en general la fuerza gravitatoria producida por un cuerpo fijo sobre otro, tomando como origen de potencial el infinito, tiene una energía potencial
U(\mathbf{r}) = -\frac{GMm}{|\mathbf{r}|}\,
  • El oscilador armónico, que cumple, tomando el origen de potencial en el punto de equilibrio
U(\mathbf{r}) = \frac{1}{2}k|\mathbf{r}|^2\,

4 Cálculo de la fuerza a partir del potencial

Conocida la energía potencial, puede hallarse la fuerza calculando su gradiente:

\mathbf{F}=-\nabla U = -\frac{\partial U}{\partial x}\mathbf{i}-\frac{\partial U}{\partial y}\mathbf{j}-\frac{\partial U}{\partial z}\mathbf{k}

que en el caso de una función dependiente de una sola coordenada se reduce a una derivada ordinaria.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Energ%C3%ADa_potencial"

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