Movimiento armónico simple
De Laplace
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<center><math>x = a\cos(\omega t) + b\,\mathrm{sen}(\omega t)</math></center> | <center><math>x = a\cos(\omega t) + b\,\mathrm{sen}(\omega t)</math></center> | ||
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| + | Derivando esta ecuación obtenemos la velocidad instantánea | ||
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| + | <center><math>v =\dot{x}= -a\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)+bºomega\cos(\omega t)</math></center> | ||
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| + | Imponiendo las condiciones iniciales obtenemos <math>a</math> y <math>b</math>. De la posición inicial | ||
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| + | <center><math>x_0 = x(0) = a\overbrace{\cos(0)}^{=1} + b\,\overbrace{\mathrm{sen}(0)}^{=0} = a</math>{{tose}}<math>a = x_0\,</math></center> | ||
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| + | y de la velocidad inicial | ||
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| + | <center><math>v_0 = \dot{x}(0) = -a\omega\,\overbrace{\mathrm{sen}(0)}^{=0} + b\omega\overbrace{\cos(0)}^{=1} = b\omega</math>{{tose}}<math>b = \frac{v_0}{\omega}</math></center> | ||
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| + | con lo que la solución general, en función de la posición y la velocidad inicial es | ||
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| + | <center><math>x = x_0\cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega}\,\mathrm{sen}(\omega t)</math></center> | ||
==Amplitud y fase== | ==Amplitud y fase== | ||
==Amplitud compleja== | ==Amplitud compleja== | ||
[[Categoría:Cinemática del punto]] | [[Categoría:Cinemática del punto]] | ||
Revisión de 19:51 7 feb 2010
Contenido |
1 Introducción
El movimiento armónico simple (o, abreviadamente, M.A.S.) es el descrito por una partícula que se mueve a lo largo de una recta verificando la ley de Hooke
Por tratarse de un movimiento rectilíneo, puede reducirse el movimiento a una sola componente
de forma que la ecuación de movimiento se reduce a
La solución de esta ecuación diferencial, con las condiciones iniciales
es la forma general de un movimiento armónico simple.
2 Combinación de funciones trigonométricas
Para resolver la ecuación de movimiento de un oscilador armónico, empleando técnicas elementales, observamos que trata de hallar una función cuya segunda derivada sea proporcional a la propia función. Es fácil encontrar dos funciones que cumplen esta condición
Por simple sustitución comprobamos que se cumple
Ninguna de estas dos soluciones particulares puede ser la solución general, ya que no cumplen las condiciones iniciales del movimiento. Sin embargo, una combinación lineal de ellas sí lo es. Multiplicando cada una por una constante y sumando, tenemos que
El valor de estas dos constantes, a y b lo dan las condiciones iniciales. Al resultar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la solución queda completamente determinada. Por tanto, la forma general del movimiento armónico simple es
Derivando esta ecuación obtenemos la velocidad instantánea
Imponiendo las condiciones iniciales obtenemos a y b. De la posición inicial
y de la velocidad inicial
con lo que la solución general, en función de la posición y la velocidad inicial es
