Derivada direccional

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 19:10 13 abr 2010

Contenido

1 Introducción
2 Definición
3 Derivadas parciales
4 Ejemplo
5 Enlaces

1 Introducción

Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación geométrica es sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una función $h(x,y)\,$ que representa la altura de los puntos de una montaña. Si nos situamos en un punto de la ladera, ¿qué significa la "pendiente" de la montaña? Hay no una, sino infinitas pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia los puntos situados a la misma altura que en el que estamos, o en cualquier dirección intermedia.

La cosa es aun más complicada para campos escalares, dependientes de las tres coordenadas, ya que en ese caso ni siquiera podemos imaginar qué significa una pendiente.

Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares debe hacerse de una forma específica. Podemos definir una derivada a lo largo de una dirección determinada, pero nada más.

2 Definición

Definimos la derivada direccional de un campo escalar $\phi\,$ en un punto $\mathbf{r}_0\,$ según una dirección marcada por el vector unitario $\mathbf{v}\,$ , de la siguiente manera:

Consideramos el desplazamiento pequeño desde $\mathbf{r}_0$ en la dirección marcada por $\mathbf{v}$

$\Delta\mathbf{r} = \left|\Delta\mathbf{r}\right|\mathbf{v}$

Calculamos el incremento en la función $φ$ entre el punto inicial y el final

$\Delta\phi = \phi(\mathbf{r}_0+\Delta \mathbf{r}) - \phi(\mathbf{r}_0)$

La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el incremento de $φ$ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a cero.

$\frac{\partial \phi}{\partial v} = \lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\frac{\Delta\phi}{|\Delta\mathbf{r}|}$

La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en una dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función en dicha dirección. En un campo bidimensional, que se puede representar mediante una elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación posee significado geométrico. En tres dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la misma.

3 Derivadas parciales

Un caso particular importante de derivada direccional lo dan las derivadas parciales. Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la dirección marcada por $\mathbf{u}_x\,$ . La aplicación del límite nos da

$\frac{\partial\phi}{\partial x} = \lim_{h\to 0}\frac{\phi(\mathbf{r}_0+h\mathbf{u}_{x})-\phi(\mathbf{r}_0)}{h}$

pero, si consideramos $\phi\,$ como función de las tres coordenadas $x\,$ , $y\,$ y $z\,$ , moverse en la dirección de $\mathbf{u}_x\,$ equivale a variar la coordenada $x\,$ , manteniendo las otras dos constantes, esto es

$\frac{\partial\phi}{\partial x} = \lim_{h\to 0}\frac{\phi(x_0+h,y_0,z_0)-\phi(x_0,y_0,z_0)}{h}$

esto es, resulta la derivada ordinaria de la función $\phi\,$ con respecto a $x\,$ , tratando a $y\,$ y $z\,$ como constantes. Esta es la interpretación habitual de derivada parcial.

Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse como las derivadas direccionales según las direcciones paralelas a los ejes coordenados.

4 Ejemplo

Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar

$\phi=\frac{r^2}{2}=\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}}{2}$

La derivada direccional de este campo en un punto $\mathbf{r}_0$ según la dirección marcada por $\mathbf{v}$ es

$\frac{\partial\phi}{\partial v} = \lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\frac{(\mathbf{r}_0+\Delta\mathbf{r})\cdot(\mathbf{r}_0+\Delta\mathbf{r})-\mathbf{r}_0\cdot\mathbf{r}_0}{|\Delta\mathbf{r}|}$

Desarrollando el producto queda

$\frac{\partial\phi}{\partial v} = \lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\frac{2\mathbf{r}_0\cdot\Delta\mathbf{r}+|\Delta\mathbf{r}|^2}{|\Delta\mathbf{r}|}= \lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\left(2\mathbf{r}_0\cdot\frac{\Delta\mathbf{r}}{|\Delta\mathbf{r}|}+|\Delta\mathbf{r}|\right) = 2\mathbf{r}_0\cdot\mathbf{v}$

ya que $\Delta\mathbf{r}/|\Delta\mathbf{r}|$ es un vector dividido por su módulo, lo que da el unitario en su dirección

5 Enlaces

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Derivada en una dimensión

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 ==Introducción==
+Cuando se define la [[derivada en una dimensión]] su interpretación geométrica es sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
-===La derivada de una función de una variable===
+Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una función <math>h(x,y)\,</math> que representa la altura de los puntos de una montaña. Si nos situamos en un punto de la ladera, ¿qué significa la "pendiente" de la montaña? Hay no una, sino infinitas pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia los puntos situados a la misma altura que en el que estamos, o en cualquier dirección intermedia.
-[[Imagen:derivada.gif|right]]En una dimensión el concepto de derivada es relativamente sencillo: es el límite del cociente entre el incremento de una función y el incremento de su variable
-<center><math>\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \phi}{\Delta x}</math></center>
+La cosa es aun más complicada para campos escalares, dependientes de las tres coordenadas, ya que en ese caso ni siquiera podemos imaginar qué significa una pendiente.
-Gráficamente, antes de tomar el límite, el cociente <math>\Delta\Phi/\Delta x\,</math> representa la pendiente de una recta secante a la gráfica de la función, siendo uno de los puntos de corte aquél en que queremos calcular la derivada y el otro que vamos acercando progresivamente hacia el primer punto. Cuando tomamos el límite, ambos puntos coinciden y la secante se convierte en la tangente.
+Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares debe hacerse de una forma específica. Podemos definir una derivada a lo largo de una dirección determinada, pero nada más.
-Podemos interpretar la expresión <math>\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}x\,</math> de dos formas.
+==Definición==
+Definimos la derivada direccional de un campo escalar <math>\phi\,</math> en un punto <math>\mathbf{r}_0\,</math> según una dirección marcada por el vector unitario <math>\mathbf{v}\,</math>, de la siguiente manera:
-===La derivada como cociente===
+* Consideramos el desplazamiento pequeño desde <math>\mathbf{r}_0</math> en la dirección marcada por <math>\mathbf{v}</math>
-La definición como límite de un cociente permite leer la expresión <math>\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}x\,</math> como un cociente en sí mismo, entre:
+<center>
+<math>\Delta\mathbf{r} = \left|\Delta\mathbf{r}\right|\mathbf{v}</math></center>
-* La cantidad <math>\mathrm{d}\phi\,</math>, conocida como el ''diferencial'' de la función <math>\phi\,</math>. Este diferencial se interpreta como un incremento infinitamente pequeño de la función entre dos puntos vecinos.
+* Calculamos el incremento en la función <math>\phi</math> entre el punto inicial y el final
-* La cantidad <math>\mathrm{d}x,</math>, conocida como el ''diferencial'' de <math>x\,</math>, que representa la diferencia entre dos posiciones infinitamente próximas.
+<center><math>\Delta\phi = \phi(\mathbf{r}_0+\Delta \mathbf{r}) - \phi(\mathbf{r}_0)</math></center>
-De esta interpretación como cociente se obtiene de forma inmediata que, por ejemplo, las dimensiones de la derivada <math>\mathrm{d}\phi\,</math> son las de <math>\phi\,</math> divididas por las de <math>x\,</math> (verbigracia, que si el espacio se mide en metros y el tiempo en segundos, la velocidad -que es la derivada del espacio respecto al tiempo- se mide en metros/segundo).
+* La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el incremento de <math>\phi</math> y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a cero.
+<center><math>\frac{\partial \phi}{\partial v}  = \lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\frac{\Delta\phi}{|\Delta\mathbf{r}|} </math></center>
-===La derivada como operador===
+La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la &ldquo;pendiente media&rdquo; en una dirección, y su límite nos da la &ldquo;pendiente de la tangente&rdquo; a la función en dicha dirección. En un campo bidimensional, que se puede representar mediante una elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación posee significado geométrico. En tres dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la misma.
-[[Imagen:operador.png|left]]Existe otra forma de leer la expresión anterior. Si la escribimos como
-<center><math>\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x} = \left\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\right)\phi</math></center>
+==Derivadas parciales==
-===Extensión a tres dimensiones===
+Un caso particular importante de derivada direccional lo dan las ''derivadas parciales''. Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la dirección marcada por <math>\mathbf{u}_x\,</math>. La aplicación del límite nos da
-==Definición==
+<center><math>\frac{\partial\phi}{\partial x} = \lim_{h\to 0}\frac{\phi(\mathbf{r}_0+h\mathbf{u}_{x})-\phi(\mathbf{r}_0)}{h}</math></center>
-==Derivadas parciales==
+pero, si consideramos <math>\phi\,</math> como función de las tres coordenadas <math>x\,</math>, <math>y\,</math> y <math>z\,</math>, moverse en la dirección de <math>\mathbf{u}_x\,</math> equivale a variar la coordenada <math>x\,</math>, manteniendo las otras dos constantes, esto es
+<center><math>\frac{\partial\phi}{\partial x} = \lim_{h\to 0}\frac{\phi(x_0+h,y_0,z_0)-\phi(x_0,y_0,z_0)}{h}</math></center>
+esto es, resulta la derivada ordinaria de la función <math>\phi\,</math> con respecto a <math>x\,</math>, tratando a <math>y\,</math> y <math>z\,</math> como constantes. Esta es la interpretación habitual de derivada parcial.
+Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse como las derivadas direccionales según las direcciones paralelas a los ejes coordenados.
 ==Ejemplo==
+Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar
+<center><math>\phi=\frac{r^2}{2}=\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}}{2}</math></center>
+La derivada direccional de este campo en un punto <math>\mathbf{r}_0</math> según la dirección marcada por <math>\mathbf{v}</math> es
+<center><math>\frac{\partial\phi}{\partial v} = \lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\frac{(\mathbf{r}_0+\Delta\mathbf{r})\cdot(\mathbf{r}_0+\Delta\mathbf{r})-\mathbf{r}_0\cdot\mathbf{r}_0}{|\Delta\mathbf{r}|}</math></center>
+Desarrollando el producto queda
+<center><math>\frac{\partial\phi}{\partial v} = \lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\frac{2\mathbf{r}_0\cdot\Delta\mathbf{r}+|\Delta\mathbf{r}|^2}{|\Delta\mathbf{r}|}=
+\lim_{|\Delta\mathbf{r}|\to 0}\left(2\mathbf{r}_0\cdot\frac{\Delta\mathbf{r}}{|\Delta\mathbf{r}|}+|\Delta\mathbf{r}|\right) = 2\mathbf{r}_0\cdot\mathbf{v}</math></center>
+ya que <math>\Delta\mathbf{r}/|\Delta\mathbf{r}|</math> es un vector dividido por su módulo, lo que da el unitario en su dirección
 ==Enlaces==
 * '''Siguiente:''' [[Diferencial de una función]]
+* [[Derivada en una dimensión]]
 [[Categoría:Gradiente|10]]

Derivada direccional

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