Movimiento con velocidad en dos instantes (GIE)
De Laplace
(2 ediciones intermedias no se muestran.) | |||
Línea 8: | Línea 8: | ||
## El radio y el centro de curvatura del movimiento. | ## El radio y el centro de curvatura del movimiento. | ||
==Aceleración== | ==Aceleración== | ||
+ | En lo que sigue, todas las posiciones están en m, tiempos en s, velocidades en m/s y aceleraciones en m/s². | ||
+ | |||
Por ser de aceleración constante | Por ser de aceleración constante | ||
Línea 14: | Línea 16: | ||
Sustituyendo <math>t=2\,\mathrm{s}</math> | Sustituyendo <math>t=2\,\mathrm{s}</math> | ||
- | <center><math>\vec{a}=\frac{\vec{v}_2-\vec{v}_0}{2}=\frac{\left(-0.80\vec{\imath}-0.80\vec{\jmath}+3.20\vec{k}\right)-\left(0.20\vec{\imath}-0.40\vec{\jmath}+0.40\vec{k}\right)}{2}=\left(-0.50\vec{\imath}-0.20\vec{\jmath}+1.40\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center> | + | <center><math>\vec{a}=\frac{\vec{v}_2-\vec{v}_0}{2}=\frac{\left(-0.80\vec{\imath}-0.80\vec{\jmath}+3.20\vec{k}\right)\mathrm{m}/\mathrm{s}-\left(0.20\vec{\imath}-0.40\vec{\jmath}+0.40\vec{k}\right)\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\,\mathrm{s}}=\left(-0.50\vec{\imath}-0.20\vec{\jmath}+1.40\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center> |
==Posición en t = 2 s== | ==Posición en t = 2 s== | ||
Por ser de aceleración constante | Por ser de aceleración constante | ||
Línea 22: | Línea 24: | ||
Sustituyendo <math>t=2\,\mathrm{s}</math> | Sustituyendo <math>t=2\,\mathrm{s}</math> | ||
- | \vec{r}_2=2\left(0.20\vec{\imath}-0.40\vec{\jmath}+0.40\vec{k}\right)+\frac{1}{2}\left(-0.50\vec{\imath}-0.20\vec{\jmath}+1.40\vec{k}\right)·4=\left(-0.60\vec{\imath}-1.20\vec{\jmath}+3.60\vec{k}\right)\mathrm{m} | + | <center><math>\vec{r}_2=2\left(0.20\vec{\imath}-0.40\vec{\jmath}+0.40\vec{k}\right)+\frac{1}{2}\left(-0.50\vec{\imath}-0.20\vec{\jmath}+1.40\vec{k}\right)·4=\left(-0.60\vec{\imath}-1.20\vec{\jmath}+3.60\vec{k}\right)\mathrm{m}</math></center> |
+ | ==Magnitudes en t=2 s== | ||
+ | ===Aceleración tangencial=== | ||
+ | El vector tangente es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad | ||
+ | |||
+ | <center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|}=\frac{0.20\vec{\imath}-0.40\vec{\jmath}+0.40\vec{k}}{\sqrt{0.20^2+0.40^2+0.40^2}}=0.33\vec{\imath}-0.67\vec{\jmath}+0.67\vec{k}</math></center> | ||
+ | |||
+ | y la componente tangencial de la aceleración es | ||
+ | |||
+ | <center><math>a_t=\vec{a}\cdot\vec{T}=0.90\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center> | ||
+ | |||
+ | El vector aceleración tangencial vale | ||
+ | |||
+ | <center><math>\vec{a}_t=a_t\vec{T}=\left(0.30\vec{\imath}-0.60\vec{\jmath}+0.60\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center> | ||
+ | |||
+ | ===Aceleración normal=== | ||
+ | Restamos de la aceleración completa | ||
+ | |||
+ | <center><math>\vec{a}_n=\vec{a}-\vec{a}_t=\left(-0.80\vec{\imath}+0.40\vec{\jmath}+0.80\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center> | ||
+ | |||
+ | y en módulo | ||
+ | |||
+ | <center><math>a_n=|\vec{a}_n|=\sqrt{0.40^2+0.80^2+0.80^2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=1.20\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center> | ||
+ | |||
+ | ===Triedro de Frenet=== | ||
+ | El vector tangente ya lo tenemos | ||
+ | |||
+ | <center><math>\vec{T}=0.33\vec{\imath}-0.67\vec{\jmath}+0.67\vec{k}</math></center> | ||
+ | |||
+ | El normal es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal | ||
+ | |||
+ | <center><math>\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=\frac{-0.80\vec{\imath}+0.40\vec{\jmath}+0.80\vec{k}}{1.20}=-0.67\vec{\imath}+0.33\vec{\jmath}+0.67\vec{k}</math></center> | ||
+ | |||
+ | y el binormal es el producto de estos dos | ||
+ | |||
+ | <center><math>\vec{B}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ 0.33 & -0.67 & 0.67 \\ -0.67 & 0.33 & 0.67\end{matrix}\right|=-0.67\vec{\imath}-0.67\vec{\jmath}-0.33\vec{k}</math></center> | ||
+ | |||
+ | ===Radio y centro de curvatura=== | ||
+ | A partir de la aceleración normal | ||
+ | |||
+ | <center><math>R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{0.60^2}{1.20}=0.30\,\mathrm{m}</math></center> | ||
+ | |||
+ | siendo el centro de curvatura | ||
+ | |||
+ | <center><math>\vec{r}_c=\vec{r}_0+R\vec{N}=\left(-0.20\vec{\imath}+0.10\vec{\jmath}+0.20\vec{k}\right)\mathrm{m}</math></center> |
última version al 11:13 8 sep 2018
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula describe un movimiento con aceleración constante, tal que en se halla en el origen de coordenadas moviéndose con velocidad (m/s). En su velocidad es (m/s). Halle
- La aceleración de la partícula.
- La posición de la partícula en
- Para el instante , calcule
- Las componentes intrínsecas de la aceleración (escalares y vectoriales).
- Los tres vectores del triedro de Frenet.
- El radio y el centro de curvatura del movimiento.
2 Aceleración
En lo que sigue, todas las posiciones están en m, tiempos en s, velocidades en m/s y aceleraciones en m/s².
Por ser de aceleración constante
Sustituyendo
3 Posición en t = 2 s
Por ser de aceleración constante
Sustituyendo
4 Magnitudes en t=2 s
4.1 Aceleración tangencial
El vector tangente es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad
y la componente tangencial de la aceleración es
El vector aceleración tangencial vale
4.2 Aceleración normal
Restamos de la aceleración completa
y en módulo
4.3 Triedro de Frenet
El vector tangente ya lo tenemos
El normal es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal
y el binormal es el producto de estos dos
4.4 Radio y centro de curvatura
A partir de la aceleración normal
siendo el centro de curvatura