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| Línea 1: |
Línea 1: |
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| | ==Aceleración== | | ==Aceleración== |
| - | ===Definición===
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| - | Se define la aceleración instantánea como la derivada de la velocidad respecto al tiempo
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| - | <center><math>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}</math></center>
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| - | En una base fija, las componentes de la aceleración son las derivadas temporales de las componentes de la velocidad (y la segunda derivada de las de la posición)
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| - | <center><math>\vec{a}=\dot{v}_x\vec{\imath}+\dot{v}_y\vec{\jmath}+\dot{v}_z\vec{k}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}+\ddot{z}\vec{k}</math></center>
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| - | ===Componentes intrínsecas===
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| - | Derivando la expresión de la velocidad como producto de la rapidez y el vector tangente
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| - | <center><math>\vec{v}=\left|\vec{v}\right| \vec{T}</math></center>
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| - | queda
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| - | <center><math>\vec{a}=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}\vec{T}+|\vec{v}|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}</math></center>
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| - | El primero de los dos sumandos es paralelo al vector tangente y a la velocidad. El segundo es ortogonal a <math>\vec{T}</math>, por ser éste un vector de módulo constante. Por tanto, la aceleración se puede escribir como suma de una aceleración tangencial, responsable del cambio en la rapidez, y de una aceleración normal, asociada al cambio en la dirección del movimiento.
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| - | <center><math>\vec{a}_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}\vec{T}\qquad\qquad \vec{a}_n=|\vec{v}|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}</math></center>
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| - | Estas dos componentes pueden también hallarse proyectando sobre la velocidad
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| - | <center><math>\vec{a}_t=\frac{\vec{v}(\vec{a}\cdot\vec{v})}{|\vec{v}|^2}\qquad\qquad\vec{a}_n= \vec{a}-\vec{a}_t=\frac{\vec{v}\times(\vec{a}\times\vec{v})}{|\vec{v}|^2}</math></center>
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| - | ===Triedro de Frenet===
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| - | Como hemos visto, a partir de la velocidad puede definirse un unitario tangente a la trayectoria
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| - | <center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}</math></center>
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| - | y a partir de la aceleración normal podemos definir un vector unitario normal a la trayectoria
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| - | <center><math>\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}</math></center>
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| - | Este vector es siempre ortogonal a la trayectoria y hacia adentro de las curvas que describe.
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| - | Completamos un triedro (denominado triedro de <math>Frenet</math>) mediante el producto de estos dos, obteniendo el vector binormal
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| - | <center><math>\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}</math></center>
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| - | Cualquier vector puede expresarse como cominación lineal de este triedro
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| - | <center><math>\vec{A}=A_t\vec{T}+A_n\vec{N}+A_b\vec{B}</math></center>
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| - | En particular
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| - | <center><math>\vec{v}=|\vec{v}|\vec{T}\qquad\qquad \vec{a}=a_t\vec{T}+a_n\vec{N}</math></center>
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| - | A diferencia de la base cartesiana, el triedro de Frenet es una función del tiempo, ya que se desplaza y gira con la partícula en su movimiento. Por ello, cualquier derivada respecto al tiempo deberá tener en cuenta las derivadas de estos vectores.
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| - | ===Curvatura===
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| - | La ''curvatura'' de una trayectoria mide como cambia la dirección de esta. Se define a partir de la derivada del vector tangente como
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| - | <center><math>\kappa = \frac{1}{|\vec{v}|}\left|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}\right|</math></center>
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| - | La inversa de la curvatura es el denominado ''radio de curvatura''
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| - | <center><math>R=\frac{1}{\kappa}</math></center>
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| - | de forma que la aceleración normal puede escribirse en la forma
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| - | <center><math>\vec{a}_n=\frac{|\vec{v}|^2}{R}\vec{N}</math></center>
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| - | El ''centro de curvatura'' se define como el punto móvil
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| - | <center><math>\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}</math></center>
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