Ángulo entre diagonales
De Laplace
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| + | Una de las diagonales es la que va del origen al vértice opuesto | ||
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| + | <center><math>O(0,0,0)\qquad A(b,b,b)\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{AB}=b\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+b\vec{k}</math></center> | ||
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| + | Otra de las diagonales es la que une otro par de vértices opuestos | ||
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| + | <center><math>B(b,0,0)\qquad C(0,b,b)\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{BC}=-b\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+b\vec{k}</math></center> | ||
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| + | El coseno del ángulo que forman lo calculamos a partir del producto escalar | ||
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| + | <center><math>\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|}</math></center> | ||
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| + | El módulo de ambos vectores vale lo mismo | ||
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| + | <center><math>\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{b^2+b^2+b^2}=b\sqrt{3}</math></center> | ||
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| + | y su producto escalar vale | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=b\cdot(-b) + b\cdot b +b\cdot b=b^2</math></center> | ||
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| + | lo que nos da | ||
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| + | <center><math>\cos(\alpha)=\frac{b^2}{3b^2}=1/3</math></center> | ||
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| + | y de aquí hallamos el ángulo | ||
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| + | <center><math>\alpha=\arccos\left(\frac{1}{3}\right)=1.23\,\mathrm{rad}=70.5\,^\circ</math></center> | ||
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última version al 15:17 1 oct 2015
1 Enunciado
Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.
2 Solución
Construimos un sistema de referencia con origen en un vértice del cubo y con ejes los definidos por las tres aristas contiguas.
Una de las diagonales es la que va del origen al vértice opuesto
Otra de las diagonales es la que une otro par de vértices opuestos
El coseno del ángulo que forman lo calculamos a partir del producto escalar
El módulo de ambos vectores vale lo mismo
y su producto escalar vale
lo que nos da
y de aquí hallamos el ángulo
