Fuerza magnética sobre una espira cuadrada
De Laplace
(→Caso −a ≤ b ≤ 0) |
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El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=B_0\vec{k}</math> en el semiespacio | El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme <math>\vec{B}=B_0\vec{k}</math> en el semiespacio | ||
<math>x>b</math>. Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que sus vértices se hallan en <math>\pm a\vec{\imath}</math> y en <math>\pm a\vec{\jmath}</math>. Por la espira circula una intensidad de corriente <math>I</math>. Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira como función de lo que penetra la espira en el campo y la fuerza neta (distínganse los casos necesarios). | <math>x>b</math>. Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que sus vértices se hallan en <math>\pm a\vec{\imath}</math> y en <math>\pm a\vec{\jmath}</math>. Por la espira circula una intensidad de corriente <math>I</math>. Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira como función de lo que penetra la espira en el campo y la fuerza neta (distínganse los casos necesarios). | ||
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| + | <center>[[Archivo:espira-parcial-campo-01.png]]</center> | ||
==Introducción== | ==Introducción== | ||
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siendo P el punto donde comienza el hilo y Q donde acaba. En el caso de un campo magnético uniforme, <math>\vec{B}</math> sale de la integral y queda | siendo P el punto donde comienza el hilo y Q donde acaba. En el caso de un campo magnético uniforme, <math>\vec{B}</math> sale de la integral y queda | ||
| - | <center><math>\vec{F}_m =I\overrightarrow{PQ}\times\vec{B}_0\qquad\qquad(\vec{B}=\vec{B}_0\neq f(\vec{r})</math></center> | + | <center><math>\vec{F}_m =I\overrightarrow{PQ}\times\vec{B}_0\qquad\qquad\left(\vec{B}=\vec{B}_0\neq f(\vec{r})\right)</math></center> |
Obsérvese que esta fórmula no depende de que el hilo sea recto o curvado. | Obsérvese que esta fórmula no depende de que el hilo sea recto o curvado. | ||
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Para este problema tenemos varios casos dependiendo de la relación entre <math>a</math> y <math>b</math> | Para este problema tenemos varios casos dependiendo de la relación entre <math>a</math> y <math>b</math> | ||
| - | ==Caso b | + | ==Caso b ≥ a== |
| - | ==Caso 0 < b < a== | + | En el primer caso la solución es trivial. la espira está completamente fuera del campo magnético y la fuerza sobre cada lada es nula. |
| - | == | + | |
| - | ==Caso b < -a== | + | <center><math>\vec{F}_1=\vec{F}_2=\vec{F}_3=\vec{F}_4=\vec{0}</math></center> |
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| + | y lógicamente también lo es la fuerza neta | ||
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| + | <center><math>\vec{F}=\sum_i\vec{F}_i=\vec{0}</math></center> | ||
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| + | ==Caso 0 ≤ b ≤ a== | ||
| + | En el segundo caso, tenemos dos lados (1 y 4, si los etiquetamos según el cuadrante) parcialmente inmersos en el campo magnético y otros dos (2 y 3) completamente fuera de él. | ||
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| + | <center><math>\vec{F}_2=\vec{F}_3 =\vec{0}</math></center> | ||
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| + | Para el lado 1, el tramo que está dentro del campo magnético es | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{P_1Q_1} = (a-b)\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
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| + | por lo que la fuerza sobre este lado vale | ||
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| + | <center><math>\vec{F}_1=I(a-b)\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\times(B_0\vec{k})=I(a-b)B_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
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| + | Para el lado 4 | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{P_4Q_4} = (a-b)\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
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| + | y queda | ||
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| + | <center><math>\vec{F}_4=I(a-b)\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\times(B_0\vec{k})=I(a-b)B_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
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| + | Sumando estas dos obtenemos la fuerza neta | ||
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| + | <center><math>\vec{F}=2I(a-b)B_0\vec{\imath}</math></center> | ||
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| + | A esta misma fuerza neta se llega considerando el punto inicial y final de todo el tramo | ||
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| + | <center><math>\vec{F}=I\overrightarrow{P_4Q_1}\times\vec{B}=I\left(2(a-b)\vec{\jmath}\right)\times(B_0\vec{k})=2I(a-b)B_0\vec{\imath}</math></center> | ||
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| + | Este caso incluye el caso particular en que b=0, es decir, la espira entra hasta la mitad en el campo magnético | ||
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| + | <center><math>(b=0)\qquad\qquad \vec{F}_1=IaB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\vec{F}_4=IaB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)\qquad\vec{F}=2IaB_0\vec{\imath}</math></center> | ||
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| + | ==Caso −a ≤ b ≤ 0== | ||
| + | Cuando b≤0, tenemos dos lados completamente dentro del campo magnético (el 1 y el 4) y dos solo parcialmente (el 2 y el 3). | ||
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| + | <center>[[Archivo:espira-parcial-campo-04.png]]</center> | ||
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| + | Para los lados 1 y 4 la fuerza es la calculada al final del apartado anterior | ||
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| + | <center><math> \vec{F}_1=IaB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad\vec{F}_4=IaB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
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| + | Para el lado 2, teniendo en cuenta que ahora b es un número negativo | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{P_2Q_2}=|b|\left(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)=b\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
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| + | y queda la fuerza | ||
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| + | <center><math>\vec{F}_2=IbB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
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| + | Operamos igualmente para el lado 3 | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{P_3Q_3}=|b|\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)=b\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
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| + | y resulta | ||
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| + | <center><math>\vec{F}_3=IbB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
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| + | La fuerza total sobre la espira es ahora | ||
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| + | <center><math>\vec{F}=\sum_i\vec{F}_i=2I(a+b)B_0\vec{\imath}</math></center> | ||
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| + | Vemos que cuando b se hace igual a -a (la espira penetra por completo) esta fuerza se anula. | ||
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| + | Esta fuerza neta puede hallarse también considerando solo el punto inicial y final de la porción de espira sumergida en el campo | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{P_3Q_2}=2(a-|b|)\vec{\jmath}=2(a+b)\vec{\jmath}</math></center> | ||
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| + | ==Caso b ≤ −a== | ||
| + | Por último, tenemos la espira conpletamente inmersa en el campo magnético. En este caso, la fuerza sobre cada segmento corresponde a la totalidad de la longitud de este. | ||
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| + | <center>[[Archivo:espira-parcial-campo-05.png]]</center> | ||
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| + | Para los lados 1 y 4, como en el apartado anterior | ||
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| + | <center><math> \vec{F}_1=IaB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad\vec{F}_4=IaB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
| + | |||
| + | mientras que para los lados 2 y 3 corresponde a hacer b = -a en los resultados anteriores | ||
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| + | <center><math>\vec{F}_2=-IaB_0\left(\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
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| + | y | ||
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| + | <center><math>\vec{F}_3=-IaB_0\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
| + | |||
| + | Vemos que las fuerzas sobre lados opuestos son igualmente opuestas | ||
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| + | <center><math>\vec{F}_1=-\vec{F}_3\qquad\qquad \vec{F}_2=-\vec{F}_4</math></center> | ||
| + | |||
| + | y por tanto la fuerza neta se anula | ||
| + | <center><math>\vec{F}=\sum_i\vec{F}_i=\vec{0}</math></center> | ||
[[Categoría:Problemas de campo magnético (GIE)]] | [[Categoría:Problemas de campo magnético (GIE)]] | ||
última version al 20:27 30 mar 2017
Contenido |
1 Enunciado
El campo entre los polos de un imán se puede modelar como un campo magnético uniforme 
en el semiespacio
x > b. Una espira cuadrada se encuentra sumergida parcialmente en este campo. La espira se encuentra en el plano XY, girada 45° respecto a los ejes, de forma que sus vértices se hallan en 
y en 
. Por la espira circula una intensidad de corriente I. Calcule la fuerza sobre cada lado de la espira como función de lo que penetra la espira en el campo y la fuerza neta (distínganse los casos necesarios).
2 Introducción
La fuerza sobre un hilo inmerso en un campo magnético viene dada por la integral
siendo P el punto donde comienza el hilo y Q donde acaba. En el caso de un campo magnético uniforme, 
sale de la integral y queda
Obsérvese que esta fórmula no depende de que el hilo sea recto o curvado.
Para este problema tenemos varios casos dependiendo de la relación entre a y b
3 Caso b ≥ a
En el primer caso la solución es trivial. la espira está completamente fuera del campo magnético y la fuerza sobre cada lada es nula.
y lógicamente también lo es la fuerza neta
4 Caso 0 ≤ b ≤ a
En el segundo caso, tenemos dos lados (1 y 4, si los etiquetamos según el cuadrante) parcialmente inmersos en el campo magnético y otros dos (2 y 3) completamente fuera de él.
Para el lado 1, el tramo que está dentro del campo magnético es
por lo que la fuerza sobre este lado vale
Para el lado 4
y queda
Sumando estas dos obtenemos la fuerza neta
A esta misma fuerza neta se llega considerando el punto inicial y final de todo el tramo
Este caso incluye el caso particular en que b=0, es decir, la espira entra hasta la mitad en el campo magnético
5 Caso −a ≤ b ≤ 0
Cuando b≤0, tenemos dos lados completamente dentro del campo magnético (el 1 y el 4) y dos solo parcialmente (el 2 y el 3).
Para los lados 1 y 4 la fuerza es la calculada al final del apartado anterior
Para el lado 2, teniendo en cuenta que ahora b es un número negativo
y queda la fuerza
Operamos igualmente para el lado 3
y resulta
La fuerza total sobre la espira es ahora
Vemos que cuando b se hace igual a -a (la espira penetra por completo) esta fuerza se anula.
Esta fuerza neta puede hallarse también considerando solo el punto inicial y final de la porción de espira sumergida en el campo
6 Caso b ≤ −a
Por último, tenemos la espira conpletamente inmersa en el campo magnético. En este caso, la fuerza sobre cada segmento corresponde a la totalidad de la longitud de este.
Para los lados 1 y 4, como en el apartado anterior
mientras que para los lados 2 y 3 corresponde a hacer b = -a en los resultados anteriores
y
Vemos que las fuerzas sobre lados opuestos son igualmente opuestas
y por tanto la fuerza neta se anula
