Dos resortes enfrentados

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 13:45 24 ene 2014

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra situada entre dos resortes de longitudes en reposo $l 10$ y $l 20$ , que se encuentran atados a paredes opuestas separadas una distancia $L$ . Los muelles poseen constantes de recuperación $k 1$ y $k 2$ .

Determine la posición de equilibrio de la masa. ¿A cuanto tiende esta posición si $k_1\to\infty$ ? ¿Y si $k_2\to\infty$ ?
Estando en la posición de equilibrio, se le comunica a la masa una velocidad $v 0$ . Determine la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones resultantes.

2 Posición de equilibrio

La posición de equilibrio es aquella en que la fuerza sobre la masa es nula. Esto ocurrirá cuando la fuerza con la que tira un muelle hacia uno de los lados es igual a la que ejerce el otro muelle hacia el lado opuesto. Si la masa se encuentra a una distancia $l 1eq$ de la pared de la izquierda y a $l 2eq$ de la de la derecha, la condición de equilibrio es

$-k_1(l_{1\mathrm{eq}}-l_{10})+k_2(l_{2\mathrm{eq}} - l_{20}) = 0\,$

junto con la condición

$l_{1\mathrm{eq}}+l_{2\mathrm{eq}}=L\,$

Esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

$\left\{\begin{array}{ccccl} -k_1l_{1\mathrm{eq}} & + & k_2l_{2\mathrm{eq}} & = & -k_1l_{10}+k_2l_{20} \\ &&&& \\ l_{1\mathrm{eq}}& + & l_{2\mathrm{eq}} & = & L \end{array}\right.$

con solución

$l_{1\mathrm{eq}}=\frac{k_1l_{10}+k_2(L-l_{20})}{k_1+k_2}\qquad\qquad l_{2\mathrm{eq}}=\frac{k_1(L-l_10)+k_2l_{20})}{k_1+k_2}$

Cuando $k_1\to\infty$ las longitudes anteriores tienen el límite

$l_{1\,\mathrm{eq}}\to l_{10} \qquad l_{2\mathrm{eq}}\to L - l_{10}$

que quiere decir que el muelle 1 se convierte en una barra rígida y no se estira en absoluto. Inversamente ocurre si $k_2\to\infty$ .

3 Amplitud y frecuencia

Consideramos entonces las oscilaciones en torno a la posición de equilibrio. Estas vienen gobernadas por la ecuación de movimiento

$ma = -k_1(l_1-l_{10})+k_1(l_2-l_{20})\,$

junto con las condiciones iniciales

$l_{1}=l_{1\mathrm{eq}}\qquad\qquad l_{2}=l_{2\mathrm{eq}}\qquad v=v_0$

Si la masa se desvía una cantidad $x$ las nuevas longitudes de los resortes son

$l_1=l_{1\mathrm{eq}}+x\qquad\qquad l_2=l_{2\mathrm{eq}}-x$

de forma que la ecuación de movimiento queda

$ma = -k_1x-k_2x-k_1(l_{1\mathrm{eq}}-l_{10})+k_2(l_{2\mathrm{eq}}-l_{20})\,$

Pero las longitudes de equilibrio son tales que se anulan los dos últimos términos y la ecuación se reduce a

$ma = -(k_1+k_2)x\,$

de donde llegamos a que la masa efectúa oscilaciones armónicas respecto a la posición de equilibrio, con la constante equivalente

$k_\mathrm{eq}=k_1+k_2\,$

La frecuencia angular de las oscilaciones resultantes vale

$\omega = \sqrt{\frac{k_\mathrm{eq}}{m}}=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$

El movimiento en general será de la forma

$x = A \cos(\omega t) + B\,\mathrm{sen}(\omega t)\,$

Puesto que sabemos que $x 0 = 0$ y la velocidad inicial la dada, queda la solución

$x = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)$

de donde la amplitud del movimiento es

$A = \frac{v_0}{\omega}=v_0\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}$

Dos resortes enfrentados

De Laplace

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2 Posición de equilibrio

3 Amplitud y frecuencia

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 <center><math>\left\{\begin{array}{ccccl}
--k_1l_{1\mathrm{eq}} & + & k_2l_{2\mathrm{eq}} & = & -k_1l_{10}+k_2l_{20} \\ &&&&
+-k_1l_{1\mathrm{eq}} & + & k_2l_{2\mathrm{eq}} & = & -k_1l_{10}+k_2l_{20} \\ &&&& \\
 l_{1\mathrm{eq}}& + & l_{2\mathrm{eq}} & = & L
 \end{array}\right.</math></center>