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Fuerza en anilla ensartada en varillas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Sin considerar el peso)
m (→Sin considerar el peso)
 
(5 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 11: Línea 11:
o, expresada en coordenadas polares respecto a este mismo punto
o, expresada en coordenadas polares respecto a este mismo punto
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<center><math>\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \varphi = \Omega t</math></center>
+
<center><math>\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \theta = \Omega t</math></center>
La fuerza neta que actúa sobre la anilla nos la da la segunda ley de Newton
La fuerza neta que actúa sobre la anilla nos la da la segunda ley de Newton
Línea 19: Línea 19:
que en coordenadas polares queda
que en coordenadas polares queda
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<center><math>\vec{F}=m\vec{a}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2\right)\vec{u}_\rho + m\left(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi}\right)\vec{u}_\varphi</math></center>
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<center><math>\vec{F}=m\vec{a}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right)\vec{u}_\rho + m\left(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}\right)\vec{u}_\theta</math></center>
Si no consideramos el peso, las fuerzas que actúan sobre la anilla se deben exclusivamente a las dos varillas
Si no consideramos el peso, las fuerzas que actúan sobre la anilla se deben exclusivamente a las dos varillas
Línea 27: Línea 27:
La varilla de la derecha ejerce sobre la anilla una fuerza <math>\vec{F}_R</math>. Esta fuerza es siempre perpendicular a la propia varilla (ya que ésta no puede impedir que la anilla) se mueva a lo largo de ella. Pero la perpendicular a la varilla de la derecha es justamente la dirección de la varilla de la izquierda, que a su vez es la dirección radial desde O. Por tanto
La varilla de la derecha ejerce sobre la anilla una fuerza <math>\vec{F}_R</math>. Esta fuerza es siempre perpendicular a la propia varilla (ya que ésta no puede impedir que la anilla) se mueva a lo largo de ella. Pero la perpendicular a la varilla de la derecha es justamente la dirección de la varilla de la izquierda, que a su vez es la dirección radial desde O. Por tanto
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<center><math>\vec{F}_R = \vec{F}_\rho = m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2)\vec{u}_\rho</math></center>
+
<center><math>\vec{F}_R = \vec{F}_\rho = m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho</math></center>
Calculamos los términos que aparecen en esta expresión
Calculamos los términos que aparecen en esta expresión
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<center><math>\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \dot{\rho}=-L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad \ddot{\varphi}=-L\Omega^2\cos(\Omega t)</math></center>
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<center><math>\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \dot{\rho}=-L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad \ddot{\rho}=-L\Omega^2\cos(\Omega t)</math></center>
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<center><math>\varphi = \Omega \qquad\qquad\dot{\varphi}=\Omega\qquad\qquad \ddot{\varphi}=0</math></center>
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<center><math>\theta = \Omega t \qquad\qquad\dot{\theta}=\Omega\qquad\qquad \ddot{\theta}=0</math></center>
y por tanto
y por tanto
Línea 39: Línea 39:
<center><math>\vec{F}_R = m\left(-L\Omega^2\cos(\Omega t)-L\Omega^2\cos(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho=-2mL\Omega^2\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho</math></center>
<center><math>\vec{F}_R = m\left(-L\Omega^2\cos(\Omega t)-L\Omega^2\cos(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho=-2mL\Omega^2\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho</math></center>
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Asimismo, la fuerza ejercida por la varilla de la izquierda <math>\vec{F}_L</math> va en la dirección perpendicular a ella misma. Por tanto <math>\vec{F}_L</math> va en la dirección de <math>\vec{u}_\varphi</math> y es igual a
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Asimismo, la fuerza ejercida por la varilla de la izquierda <math>\vec{F}_L</math> va en la dirección perpendicular a ella misma. Por tanto <math>\vec{F}_L</math> va en la dirección de <math>\vec{u}_\theta</math> y es igual a
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<center><math>\vec{F}_L = m(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\vec{u}_\varphi = -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\varphi</math></center>
+
<center><math>\vec{F}_L = m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{u}_\theta = -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\theta</math></center>
[[Archivo:fuerza-dos-variilas-01.png|right]]
[[Archivo:fuerza-dos-variilas-01.png|right]]
Línea 48: Línea 48:
Cuando se considera el peso, el cálculo es similar, ya que podemos aplicar el principio de superposición. Incluyendo el peso, la ecuación de movimiento queda
Cuando se considera el peso, el cálculo es similar, ya que podemos aplicar el principio de superposición. Incluyendo el peso, la ecuación de movimiento queda
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<center><math>\vec{F}_1+\vec{F}_2 + m\vec{g} = m\vec{a}</math></center>
+
<center><math>\vec{F}_L+\vec{F}_R + m\vec{g} = m\vec{a}</math></center>
o, equivalentemente,
o, equivalentemente,
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<center><math>\vec{F}_1+\vec{F}_2 = m\vec{a} - m\vec{g}</math></center>
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<center><math>\vec{F}_L+\vec{F}_R = m\vec{a} - m\vec{g}</math></center>
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Incluso si consideramos el peso, la aceleración es la misma que en el apartado anterior, ya que el movimiento de la anilla está gobernado por las barras. la anilla tiene 0 grados de libertad. Por ello podemos hallar las fuerzas debida a las barras como suma de 2
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Incluso si consideramos el peso, la aceleración es la misma que en el apartado anterior, ya que el movimiento de la anilla está gobernado por las barras. la anilla tiene 0 grados de libertad.  
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<center><math>\vec{F}_1 = \vec{F}_{1a}+\vec{F}_{1g}\qquad\qquad \vec{F}_2 = \vec{F}_{2a}+\vec{F}_{2g}</math></center>
+
Como en el apartado anterior
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tales que
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<center><math>\vec{F}_R=F_\rho\vec{u}_\rho\qquad\qquad \vec{F}_L=F_\theta\vec{u}_\theta</math></center>
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<center><math>\vec{F}_{1a}+\vec{F}_{2a}=m\vec{a}\qquad \qquad \vec{F}_{1g}+\vec{F}_{2g}=-m\vec{g}</math></center>
+
Lo único que nos resta hacer es descomponer el peso en sus componentes polares. Esto se consigue empleando la relación entre bases:
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Las dos primeras son las mismas que se calcularon en la sección anterior. Solo queda descomponer el peso (cambiado de signo) en suma de dos fuerzas perpendiculares a las barras.
+
<center><math>\vec{\jmath}=\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho+\cos(\theta)\vec{u}_\theta</math></center>
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[[Archivo:Fuerza-dos-varillas-02.png|right]]
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y por tanto
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El peso forma un ángulo <math>\theta=\Omega t</math> con la barra 2 y su complementario con la barra 1. Por ello, se cumple
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+
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<center><math>|\vec{F}_{1g}| =mg\cos(\Omega t)\qquad |\vec{F}_{2g}| =mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)</math></center>
+
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+
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y, en forma vectorial
+
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+
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<center><math>\vec{F}_{1g}= mg\cos(\Omega t)\vec{u}_2\qquad\qquad  \vec{F}_{2g}= mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_1</math></center>
+
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+
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En la base cartesiana
+
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+
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<center><math>\vec{F}_{1g}=mg\left(-\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)\vec{\imath}+\cos^2(\Omega t)\vec{\jmath}\right)
+
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</math></center>
+
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y
+
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<center><math>
+
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\vec{F}_{2g}=mg\left(\,\mathrm{sen}(\Omega t)\cos(\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}^2(\Omega t)\vec{\jmath}\right)</math></center>
+
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+
-
La suma de estas dos da una fuerza constante en la dirección vertical, como corresponde al peso.
+
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Sumando cada una con al correspondiente del apartado anterior obtenemos la fuerza ejercida por cada una de las barras.
+
<center><math>m\vec{g}=-mg\vec{\jmath} = -mg\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho-mg\cos(\theta)\vec{u}_\theta</math></center>
-
<center><math>\vec{F}_{1}= \left(-2m\Omega^2L\,\mathrm{sen}(\Omega t)+mg\cos(\Omega t)\right)\vec{u}_2</math></center>
+
Sumando esto a los resultados que ya teníamos nos queda
-
y
+
<center><math>\vec{F}_R =\left( -2mL\Omega^2\cos(\Omega t)-mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho</math></center>
-
<center><math>\vec{F}_{2}= \left(-2m\Omega^2L\,\mathrm{cos}(\Omega t)+mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{u}_1</math></center>
+
<center><math>\vec{F}_L =\left( -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)-mg\,\mathrm{cos}(\Omega t)\right)\vec{u}_\theta</math></center>
[[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIE)]]
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última version al 20:37 24 nov 2020

1 Enunciado

Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ´esta de masa m, (a) despreciando el peso, (b) considerando el peso en la dirección de OY negativo. Tenga en cuenta que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

Archivo:anilla-dos-varillas.png

2 Sin considerar el peso

Conocemos el movimiento de la anilla; se ve en este problema y en este otro: describe un movimiento circular uniforme en torno al punto medio de los dos anclajes, siendo su velocidad angular 2Ω y el radio de giro L / 2. La ecuación horaria del movimiento es, respecto al anclaje de la izquierda,

\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}

o, expresada en coordenadas polares respecto a este mismo punto

\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \theta = \Omega t

La fuerza neta que actúa sobre la anilla nos la da la segunda ley de Newton

\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}

que en coordenadas polares queda

\vec{F}=m\vec{a}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right)\vec{u}_\rho + m\left(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}\right)\vec{u}_\theta

Si no consideramos el peso, las fuerzas que actúan sobre la anilla se deben exclusivamente a las dos varillas

\vec{F}=\vec{F}_L+\vec{F}_R

La varilla de la derecha ejerce sobre la anilla una fuerza \vec{F}_R. Esta fuerza es siempre perpendicular a la propia varilla (ya que ésta no puede impedir que la anilla) se mueva a lo largo de ella. Pero la perpendicular a la varilla de la derecha es justamente la dirección de la varilla de la izquierda, que a su vez es la dirección radial desde O. Por tanto

\vec{F}_R = \vec{F}_\rho = m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho

Calculamos los términos que aparecen en esta expresión

\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \dot{\rho}=-L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad \ddot{\rho}=-L\Omega^2\cos(\Omega t)
\theta = \Omega t \qquad\qquad\dot{\theta}=\Omega\qquad\qquad \ddot{\theta}=0

y por tanto

\vec{F}_R = m\left(-L\Omega^2\cos(\Omega t)-L\Omega^2\cos(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho=-2mL\Omega^2\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho

Asimismo, la fuerza ejercida por la varilla de la izquierda \vec{F}_L va en la dirección perpendicular a ella misma. Por tanto \vec{F}_L va en la dirección de \vec{u}_\theta y es igual a

\vec{F}_L = m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{u}_\theta = -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\theta

3 Incluyendo el peso

Cuando se considera el peso, el cálculo es similar, ya que podemos aplicar el principio de superposición. Incluyendo el peso, la ecuación de movimiento queda

\vec{F}_L+\vec{F}_R + m\vec{g} = m\vec{a}

o, equivalentemente,

\vec{F}_L+\vec{F}_R = m\vec{a} - m\vec{g}

Incluso si consideramos el peso, la aceleración es la misma que en el apartado anterior, ya que el movimiento de la anilla está gobernado por las barras. la anilla tiene 0 grados de libertad.

Como en el apartado anterior

\vec{F}_R=F_\rho\vec{u}_\rho\qquad\qquad \vec{F}_L=F_\theta\vec{u}_\theta

Lo único que nos resta hacer es descomponer el peso en sus componentes polares. Esto se consigue empleando la relación entre bases:

\vec{\jmath}=\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho+\cos(\theta)\vec{u}_\theta

y por tanto

m\vec{g}=-mg\vec{\jmath} = -mg\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho-mg\cos(\theta)\vec{u}_\theta

Sumando esto a los resultados que ya teníamos nos queda

\vec{F}_R =\left( -2mL\Omega^2\cos(\Omega t)-mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho
\vec{F}_L =\left( -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)-mg\,\mathrm{cos}(\Omega t)\right)\vec{u}_\theta
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Fuerza_en_anilla_ensartada_en_varillas"

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