Fuerza magnética entre dos hilos paralelos

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 22:47 20 jun 2013

1 Enunciado

Se tienen dos hilos paralelos, de longitud indefinida, separados una distancia $a$ . Calcule la fuerza magnética sobre una porción de longitud $h$ de uno de los hilos debida al otro cuando por ellos circulan corrientes $I 1$ e $I 2$ .

2 Solución

Este problema es una extensión bastante simple del cálculo de la fuerza entre dos cargas en movimiento paralelo.

Suponemos el eje Z sobre uno de los hilos. Si por este hilo circula una corriente $I 1$ , el campo magnético que produce es

$\vec{B}_1 = \frac{\mu_0I_1}{2\pi\rho}\vec{u}_\varphi$

Si ahora consideramos que el segundo hilo está situado paralelamente al eje Z y sobre el punto $x = a$ , $y = 0$ , para todos los puntos el segundo hilo

$\rho = \sqrt{x^2+y^2}=a$

mientras que el vector $\vec{u}_\varphi$ en todos los puntos del segundo hilo es

$\vec{u}_\phi(x=a,y=0) = \vec{\jmath}$

por lo que el campo magnético del primer hilo en los puntos del segundo se puede escribir

$\vec{B}_1(x=a,y=0)= \frac{\mu_0I_1}{2\pi a}\vec{\jmath}$

La fuerza sobre un tramo del segundo hilo la da la integral

$\vec{F}_{1\to 2}=I_2\int_A^B \mathrm{d}\vec{r}_2\times\vec{B}_1(\vec{r}_2)$

que en este caso, aplicando que

$\vec{r}_2 = z\vec{k}\qquad\qquad\mathrm{d}\vec{r}_2=\mathrm{d}z\,\vec{k}\qquad \qquad z\in[0,h]$

se reduce a

$\vec{F}_{1\to 2}=I_2\int_0^h \mathrm{d}z\vec{k}\times\left(\frac{\mu_0I_1}{2\pi a}\vec{\jmath}\right) =-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi a}\vec{\imath}$

Si las dos corrientes circulan en el mismo sentido, $I 1$ e $I 2$ tienen el mismo signo y la fracción resulta una cantidad positiva, por lo que la fuerza va en el sentido de $-\vec{\imath}$ , es decir, es una fuerza de atracción sobre el segundo hilo. Por la tercera ley de Newton, también resulta una fuerza atractiva sobre el primero.

Lo contrario ocurre si las corrientes circulan en sentidos opuestos. Por tanto, como regla general:

Corrientes paralelas (↑↑) se atraen.
Corrientes antiparalelas (↑↓) se repelen.

@@ Línea 25: / Línea 25: @@
 <center><math>\vec{F}_{1\to 2}=I_2\int_A^B \mathrm{d}\vec{r}_2\times\vec{B}_1(\vec{r}_2)</math></center>
-que en este caso se reduce a
+que en este caso, aplicando que
 <center><math>\vec{r}_2 = z\vec{k}\qquad\qquad\mathrm{d}\vec{r}_2=\mathrm{d}z\,\vec{k}\qquad \qquad z\in[0,h]</math></center>
-<center><math>\vec{F}_{1\to 2}=I_2\int_0^h \mathrm{d}z\vec{k}\times\left(\frac{\mu_0I_1}{2\pi a}\right) \vec{\jmath}=-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi a}\vec{\imath}</math></center>
+se reduce a
+<center><math>\vec{F}_{1\to 2}=I_2\int_0^h \mathrm{d}z\vec{k}\times\left(\frac{\mu_0I_1}{2\pi a}\vec{\jmath}\right) =-\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi a}\vec{\imath}</math></center>
+Si las dos corrientes circulan en el mismo sentido, <math>I_1</math> e <math>I_2</math> tienen el mismo signo y la fracción resulta una cantidad positiva, por lo que la fuerza va en el sentido de <math>-\vec{\imath}</math>, es decir, es una fuerza de atracción sobre el segundo hilo. Por la tercera ley de Newton, también resulta una fuerza atractiva sobre el primero.
+Lo contrario ocurre si las corrientes circulan en sentidos opuestos. Por tanto, como regla general:
+* Corrientes paralelas (&uarr;&uarr;) se atraen.
+* Corrientes antiparalelas (&uarr;&darr;) se repelen.
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