Ejemplo de movimiento helicoidal (GIE)
De Laplace
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# Determine la velocidad en cada punto expresada en la base de coordenadas cilíndricas. | # Determine la velocidad en cada punto expresada en la base de coordenadas cilíndricas. | ||
- | # Determine las ecuaciones horarias <math>\rho=\rho(t)</math>, <math>\ | + | # Determine las ecuaciones horarias <math>\rho=\rho(t)</math>, <math>\theta=\theta(t)</math> y <math>z=z(t)</math>. ¿Cuánto vale el ''paso de rosca'' de la hélice, esto es, lo que sube en el tiempo que da una vuelta alrededor del eje? |
# Calcule la aceleración del movimiento, así como sus componentes intrínsecas en cada punto del movimiento. | # Calcule la aceleración del movimiento, así como sus componentes intrínsecas en cada punto del movimiento. | ||
# Determine el radio de curvatura de la trayectoria en cualquier instante. | # Determine el radio de curvatura de la trayectoria en cualquier instante. | ||
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La base asociada a las coordenadas cilíndricas forma un triedro ortonormal y dextrógiro, por lo que cumple | La base asociada a las coordenadas cilíndricas forma un triedro ortonormal y dextrógiro, por lo que cumple | ||
- | <center><math>\vec{k}\times\vec{u}_\rho=\vec{u}_\ | + | <center><math>\vec{k}\times\vec{u}_\rho=\vec{u}_\theta</math></center> |
y queda la velocidad | y queda la velocidad | ||
- | <center><math>\vec{v}=\omega_0\rho\vec{u}_\ | + | <center><math>\vec{v}=\omega_0\rho\vec{u}_\theta+v_0\vec{k}</math></center> |
Vemos que posee una componente acimutal (correspondiente al giro) y una vertical, asociada a la ascensión. | Vemos que posee una componente acimutal (correspondiente al giro) y una vertical, asociada a la ascensión. | ||
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Por otra parte, la velocidad de una partícula, expresada en coordenadas cilíndricas, es | Por otra parte, la velocidad de una partícula, expresada en coordenadas cilíndricas, es | ||
- | <center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho + \rho\dot{\ | + | <center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho + \rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta+\dot{z}\vec{k}</math></center> |
Igualando componente a componente, nos quedan las igualdades | Igualando componente a componente, nos quedan las igualdades | ||
- | <center><math>\dot{\rho} = 0\qquad \rho\dot{\ | + | <center><math>\dot{\rho} = 0\qquad \rho\dot{\theta}=\omega_0\rho\qquad\dot{z}=v_0</math></center> |
La integración de estas tres ecuaciones es inmediata, ya que cada una de las derivadas es una constante o nula. | La integración de estas tres ecuaciones es inmediata, ya que cada una de las derivadas es una constante o nula. | ||
- | <center><math>\rho=\rho_0\qquad\ | + | <center><math>\rho=\rho_0\qquad\theta=\omega_0t + \theta_0\qquad z=v_0t+z_0</math></center> |
Los valores de las constantes de integración los obtenemos de la posición inicial. sabemos que en <math>t=0</math> la partícula se encuentra en | Los valores de las constantes de integración los obtenemos de la posición inicial. sabemos que en <math>t=0</math> la partícula se encuentra en | ||
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que corresponde a las coordenadas cilíndricas | que corresponde a las coordenadas cilíndricas | ||
- | <center><math>\rho_0 = A\qquad\ | + | <center><math>\rho_0 = A\qquad\theta_0 = 0\qquad z_0=0</math></center> |
por tanto las ecuaciones horarias del movimiento son | por tanto las ecuaciones horarias del movimiento son | ||
- | <center><math>\rho=A\qquad\ | + | <center><math>\rho=A\qquad\theta=\omega_0t\qquad z=v_0t</math></center> |
En coordenadas cartesianas, estas ecuaciones horarias quedan | En coordenadas cartesianas, estas ecuaciones horarias quedan | ||
- | <center><math>x = \rho \cos(\ | + | <center><math>x = \rho \cos(\theta) = A\cos(\omega_0t)\qquad y = \rho\,\mathrm{sen}(\theta) = A\,\mathrm{sen}(\omega_0t)\qquad z = v_0t</math></center> |
==Aceleración== | ==Aceleración== | ||
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o la correspondiente en cilíndricas | o la correspondiente en cilíndricas | ||
- | <center><math>\vec{a} = (\ddot{ | + | <center><math>\vec{a} = (\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}+\ddot{z}\vec{k}</math></center> |
Para aplicar esta última, hallamos las segundas derivadas, | Para aplicar esta última, hallamos las segundas derivadas, | ||
- | <center><math>\ddot{\rho}=0\qquad\ddot{\ | + | <center><math>\ddot{\rho}=0\qquad\ddot{\theta}=0\qquad\ddot{z}=0</math></center> |
y la aceleración se reduce a | y la aceleración se reduce a | ||
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Resulta una aceleración puramente radial y hacia adentro. | Resulta una aceleración puramente radial y hacia adentro. | ||
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===Aceleración tangencial=== | ===Aceleración tangencial=== | ||
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La aceleración que acabamos de hallar es puramente ortogonal a la velocidad, ya que una es radial, mientras que la otra posee solo componentes acimutal y vertical | La aceleración que acabamos de hallar es puramente ortogonal a la velocidad, ya que una es radial, mientras que la otra posee solo componentes acimutal y vertical | ||
- | <center><math>\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(-\omega_0^2A\vec{u}_\rho\right)\cdot\left(\omega_0\rho\vec{u}_\ | + | <center><math>\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(-\omega_0^2A\vec{u}_\rho\right)\cdot\left(\omega_0\rho\vec{u}_\theta+v_0\vec{k}\right) = 0</math></center> |
Por tanto, la aceleración tangencial es nula | Por tanto, la aceleración tangencial es nula | ||
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<center><math>R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{\omega_0^2A^2+v_0^2}{\omega_0^2A}=A+\frac{v_0^2}{\omega_0^2A}</math></center> | <center><math>R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{\omega_0^2A^2+v_0^2}{\omega_0^2A}=A+\frac{v_0^2}{\omega_0^2A}</math></center> | ||
- | Resulta un radio de curvatura mayor que el radio de la hélice (que vale A) ya que una hélice viene a ser | + | Resulta un radio de curvatura mayor que el radio de la hélice (que vale A) ya que una hélice viene a ser un arco circular que se estira verticalmente. |
[[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]] | [[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (GIE)]] | ||
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última version al 18:13 28 oct 2016
Contenido |
1 Enunciado
El movimiento de un pájaro en una corriente térmica es aproximadamente helicoidal, compuesto de un movimiento ascensional y uno de giro alrededor del eje de subida, de forma que la velocidad en cada punto de la trayectoria puede escribirse como
![\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}](/wiki/images/math/6/c/e/6cef592ec9cdfea44cbfd073638043f8.png)
siendo
![\vec{v}_0 = v_0\vec{k}\qquad \vec{\omega}_0=\omega_0 \vec{k}](/wiki/images/math/7/8/8/788b0be01c6589288a4c3e423a58f454.png)
dos vectores constantes. Si la posición inicial es
- Determine la velocidad en cada punto expresada en la base de coordenadas cilíndricas.
- Determine las ecuaciones horarias ρ = ρ(t), θ = θ(t) y z = z(t). ¿Cuánto vale el paso de rosca de la hélice, esto es, lo que sube en el tiempo que da una vuelta alrededor del eje?
- Calcule la aceleración del movimiento, así como sus componentes intrínsecas en cada punto del movimiento.
- Determine el radio de curvatura de la trayectoria en cualquier instante.
2 Velocidad
La velocidad en cada punto la obtenemos simplemente sustituyendo en la expresión indicada
![\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}](/wiki/images/math/6/c/e/6cef592ec9cdfea44cbfd073638043f8.png)
donde es el vector de posición del pájaro, que en coordenadas cilíndricas se expresa
![\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}](/wiki/images/math/0/7/6/076b45424341ae6096b95ab18de27d38.png)
Sustituyendo nos queda
![\vec{v}=v_0\vec{k}+\omega_0\vec{k}\times\left(\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}\right)](/wiki/images/math/f/d/4/fd4d76e481391d00be5b1817a6293603.png)
La base asociada a las coordenadas cilíndricas forma un triedro ortonormal y dextrógiro, por lo que cumple
![\vec{k}\times\vec{u}_\rho=\vec{u}_\theta](/wiki/images/math/5/0/f/50f78812c98b1f42fbdec4736f721711.png)
y queda la velocidad
![\vec{v}=\omega_0\rho\vec{u}_\theta+v_0\vec{k}](/wiki/images/math/d/a/4/da4467a066e0bef31e1322e188aef941.png)
Vemos que posee una componente acimutal (correspondiente al giro) y una vertical, asociada a la ascensión.
3 Ecuaciones horarias
Por otra parte, la velocidad de una partícula, expresada en coordenadas cilíndricas, es
![\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho + \rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta+\dot{z}\vec{k}](/wiki/images/math/5/8/7/587ea047111d1a7a1ee229dc29191068.png)
Igualando componente a componente, nos quedan las igualdades
![\dot{\rho} = 0\qquad \rho\dot{\theta}=\omega_0\rho\qquad\dot{z}=v_0](/wiki/images/math/c/3/5/c35ec0a6b9d331dc6054388faf4d3f50.png)
La integración de estas tres ecuaciones es inmediata, ya que cada una de las derivadas es una constante o nula.
![\rho=\rho_0\qquad\theta=\omega_0t + \theta_0\qquad z=v_0t+z_0](/wiki/images/math/7/f/8/7f8ac2dad3efe9e08b2d848b4cd46bf4.png)
Los valores de las constantes de integración los obtenemos de la posición inicial. sabemos que en t = 0 la partícula se encuentra en
![\vec{r}_0=A\vec{\imath}](/wiki/images/math/c/9/d/c9d8ac05f216ed48859ebadf756a93a0.png)
que corresponde a las coordenadas cilíndricas
![\rho_0 = A\qquad\theta_0 = 0\qquad z_0=0](/wiki/images/math/a/4/3/a431e03401ef291ef96129fc29040170.png)
por tanto las ecuaciones horarias del movimiento son
![\rho=A\qquad\theta=\omega_0t\qquad z=v_0t](/wiki/images/math/e/8/4/e84fcdff01af58e730cec8d8b14e1aae.png)
En coordenadas cartesianas, estas ecuaciones horarias quedan
![x = \rho \cos(\theta) = A\cos(\omega_0t)\qquad y = \rho\,\mathrm{sen}(\theta) = A\,\mathrm{sen}(\omega_0t)\qquad z = v_0t](/wiki/images/math/0/2/b/02b497b6d6cc4e8195dcf1c3eb855c3b.png)
4 Aceleración
4.1 Vector aceleración
Podemos hallar la aceleración a partir de su expresión en cartesianas
![\vec{a}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}+\ddot{z}\vec{k}](/wiki/images/math/d/7/c/d7c323d38e99107f580a77e5625d7fe4.png)
o la correspondiente en cilíndricas
![\vec{a} = (\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_{\rho} + (2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}+\ddot{z}\vec{k}](/wiki/images/math/1/e/e/1ee208ab763f5f79104f5bf6088cfd0e.png)
Para aplicar esta última, hallamos las segundas derivadas,
![\ddot{\rho}=0\qquad\ddot{\theta}=0\qquad\ddot{z}=0](/wiki/images/math/5/1/7/517c08bc195faaed7a431b48086510ce.png)
y la aceleración se reduce a
![\vec{a}=-\omega_0^2A\vec{u}_\rho](/wiki/images/math/b/0/3/b035544aefba4c91ab0c1310c1ae5cee.png)
Resulta una aceleración puramente radial y hacia adentro.
4.2 Aceleración tangencial
La aceleración que acabamos de hallar es puramente ortogonal a la velocidad, ya que una es radial, mientras que la otra posee solo componentes acimutal y vertical
![\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(-\omega_0^2A\vec{u}_\rho\right)\cdot\left(\omega_0\rho\vec{u}_\theta+v_0\vec{k}\right) = 0](/wiki/images/math/0/1/8/0185ddfb0d8757d8f1c8af74e20ec1ba.png)
Por tanto, la aceleración tangencial es nula
![a_t = \frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|}=0](/wiki/images/math/9/9/7/997ba709859801a8445953a1e85d8e48.png)
Esto nos dice también que el movimiento es uniforme y la celeridad es constante
![|\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{\omega_0^2A^2+v_0^2}](/wiki/images/math/3/9/5/39522713847fac58308cfcf5479a51c5.png)
4.3 Aceleración normal
Si la aceleración tangencial es nula, toda la aceleración es normal
![\vec{a}_n = \vec{a} = -\omega_0^2A\vec{u}_\rho](/wiki/images/math/1/8/a/18adc443483923c8a9e64abb6c4e64df.png)
y, en forma escalar,
![a_n = |\vec{a}_n|=\omega_0^2A](/wiki/images/math/0/0/9/009cd5d3f8147a23389cf4b33963f364.png)
5 Radio de curvatura
Una vez que tenemos la aceleración normal y la rapidez, el radio de curvatura es inmediato
![R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{\omega_0^2A^2+v_0^2}{\omega_0^2A}=A+\frac{v_0^2}{\omega_0^2A}](/wiki/images/math/4/7/8/47815ed66d4f3d797e08f3a802dc9a53.png)
Resulta un radio de curvatura mayor que el radio de la hélice (que vale A) ya que una hélice viene a ser un arco circular que se estira verticalmente.