Masa de esfera no homogénea

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 17:27 15 dic 2012

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Se tiene una distribución de masa con simetría esférica, con una densidad dependiente de la posición tal que

$\rho(\vec{r})=\begin{cases}A(R-r) & r < R \\ 0 & r > R\end{cases}$

siendo $r = |\vec{r}|$ la distancia al centro de la esfera. Halle la masa total de la esfera.

2 Solución

Puesto que la densidad depende de la posición, no podemos hallar la masa total simplemente multiplicando densidad por volumen. Cuando la densidad es función de la posición, lo más que podemos asegurar es que si consideremos un elemento de volumen de tamaño diferencial, la masa de este elemento es

$\mathrm{d}m = \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V$

de forma que la masa total del sistema es la suma de las masas de cada uno de los elementos en que se divide

$M = \int_M \mathrm{d}m = \int_V \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V$

Por ser la densidad uniforme para cada valor de $r$ , lo más sencillo es tomar como elementos de volumen capas esféricas de espesor diferencial, como las de una cebolla. Cada una de estas capas, de radio $r$ (comprendido entre $0$ y $R$ ), es una lámina de área $4π r 2$ y espesor $d r$ , por lo que tiene un volumen diferencial

$\mathrm{d}V = Sh = 4\pi r^2\,\mathrm{d}r$

La masa de cada una de estas capas será igual a la densidad de masa multiplicada por el volumen

$\mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V = 4\pi A(R-r)r^2\,\mathrm{d}r$

Dado que la densidad varía al aumentar el radio $r$ , el centro de la esfera es la parte más densa. Llevando esto a la integral

$M = 4\pi A\int_0^R (R-r)r^2\,\mathrm{d}r = 4\pi A\left(R\int_0^R r^2\,\mathrm{d}r-\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r\right)=4\pi A\left(R\frac{R^3}{3}-\frac{R^4}{4}\right)=\frac{\pi A R^4}{3}$

Una comprobación que siempre conviene hacer es verificar que las dimensiones son correctas y que a la hora de descomponer en dos integrales, no nos hemos olvidado ninguna potencia de $R$ .

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
+__TOC__
 ==Enunciado==
-La densidad de masa de una esfera de radio <math>R</math> viene dada por la ley
+Se tiene una distribución de masa con simetría esférica, con una densidad
+dependiente de la posición tal que
-<center><math>\rho = A(R-r)\qquad (0<r<R)</math></center>
+<center><math>\rho(\vec{r})=\begin{cases}A(R-r) & r < R \\ 0 & r > R\end{cases}</math></center>
-Sabiendo que el área de una superficie esférica de radio <math>r</math> vale <math>4\pi r^2</math>, calcule el volumen y la masa de la esfera de radio <math>R</math>. ¿Cuánto vale su densidad media?
+siendo <math>r = |\vec{r}|</math> la distancia al centro de la esfera. Halle la masa total de la esfera.
-==Volumen==
+==Solución==
-[[Archivo:capas-cebolla.png|300px|right]]
+Puesto que la densidad depende de la posición, no podemos hallar la masa total simplemente multiplicando densidad por volumen. Cuando la densidad es función de la posición, lo más que podemos asegurar es que si consideremos un elemento de volumen de tamaño diferencial, la masa de este elemento es
-La idea es calcular el volumen a partir de la suma de elementos de volumen de tamaño infinitesimal
+<center><math>\mathrm{d}m = \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V</math></center>
-<center><math>V = \int_V\mathrm{d}V\,</math></center>
+de forma que la masa total del sistema es la suma de las masas de cada uno de los elementos en que se divide
-Entre los posibles elementos podemos considerar la esfera como compuesta de capas concéntricas , como las de una cebolla. Cada una de estas capas, de radio <math>r</math> comprendido entre <math>0</math> y <math>R</math>,es una lámina de área <math>4\pi r^2</math> y espesor <math>\mathrm{d}r</math>, por lo que tiene un volumen diferencial
+<center><math>M = \int_M \mathrm{d}m = \int_V \rho(\vec{r})\,\mathrm{d}V</math></center>
-<center><math>\mathrm{d}V = Sh = 4\pi r^2\,\mathrm{d}r</math></center>
-con lo que el volumen total será el conocido
+[[Archivo:capas-cebolla-02.png|300px|left]]
-<center><math>V = \int_0^R 4\pi r^2\,\mathrm{d}r = \frac{4\pi}{3}R^3</math></center>
+Por ser la densidad uniforme para cada valor de <math>r</math>, lo más sencillo es tomar como elementos de volumen capas esféricas de espesor diferencial, como las de una cebolla. Cada una de estas capas, de radio <math>r</math> (comprendido entre <math>0</math> y <math>R</math>), es una lámina de área <math>4\pi r^2</math> y espesor <math>\mathrm{d}r</math>, por lo que tiene un volumen diferencial
-==Masa==
+<center><math>\mathrm{d}V = Sh = 4\pi r^2\,\mathrm{d}r</math></center>
-[[Archivo:capas-cebolla-02.png|300px|left]]
-De manera análoga se calcula la masa de la esfera
-<center><math>M = \int_M \mathrm{d}m\,</math></center>
+La masa de cada una de estas capas será igual a la densidad de masa multiplicada por el volumen
-Por ser la densidad uniforme para cada valor de <math>r</math>, la masa de cada una de las capas anteriores será igual a la densidad de masa multiplicada por el volumen
 <center><math>\mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V = 4\pi A(R-r)r^2\,\mathrm{d}r</math></center>
-Dado que la densidad varía al aumentar el radio <math>r</math>, el centro de la esfera es la parte más densa
+Dado que la densidad varía al aumentar el radio <math>r</math>, el centro de la esfera es la parte más densa. Llevando esto a la integral
-Llevando esto a la integral
 <center><math>M = 4\pi A\int_0^R (R-r)r^2\,\mathrm{d}r = 4\pi A\left(R\int_0^R r^2\,\mathrm{d}r-\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r\right)=4\pi A\left(R\frac{R^3}{3}-\frac{R^4}{4}\right)=\frac{\pi A R^4}{3}</math></center>
 Una comprobación que siempre conviene hacer es verificar que las dimensiones son correctas y que a la hora de descomponer en dos integrales, no nos hemos olvidado ninguna potencia de <math>R</math>.
-==Densidad media==
-Una vez que tenemos el volumen y la masa total, la densidad media de masa es inmediata
-<center><math>\rho_m= \frac{M}{V}=\frac{\pi A R^4/3}{4\pi R^3/3} = \frac{AR}{4}</math></center>
-Obsérvese que ni el volumen, ni la masa, ni la densidad media son funciones de <math>r</math> sino solo de las constantes del problema, ya que no son funciones de la posición, sino que tienen un valor fijado para la esfera como un todo.
 [[Categoría:Problemas de dinámica de los sistemas de partículas (GIE)]]

Masa de esfera no homogénea

De Laplace

última version al 17:27 15 dic 2012

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES