2.6. Tiro parabólico

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 16:21 23 sep 2013

Contenido

1 Enunciado
2 Posición, velocidad y aceleración
3 Celeridad y vector tangente en el punto de máxima altura
- 3.1 Celeridad
- 3.2 Vector tangente
4 Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de máxima altura
5 Radio y centro de curvatura en el punto de máxima altura
- 5.1 Radio de curvatura

1 Enunciado

Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante

$\vec{a}(t)=-g\vec{k}$

una posición inicial nula ( $\vec{r}_0=\vec{0}$ ) y una velocidad inicial que forma un ángulo $α$ con la horizontal y tiene rapidez inicial $v 0$ .

Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a máxima altura.
Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal, en el mismo instante del apartado anterior.
Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.

2 Posición, velocidad y aceleración

Al ser la aceleración constante, la integración es inmediata:

$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2$

La posición inicial, según nos indica el enunciado, es nula

$\vec{r}_0 =\vec{0}$

mientras que la velocidad inicial posee módulo $v_0\,$ y forma un ángulo $α$ con la horizontal

$\vec{v}_0 = v_0\cos(\alpha)\vec{\imath}+v_0\,\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}$

lo que nos da el vector de posición en cada instante

$\vec{r}=(v_0\cos\alpha)t\,\vec{\imath}+\left((v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}$

Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos la velocidad intantánea

$\vec{v}=\dot{\vec{r}}=(v_0\cos\alpha)\vec{\imath}+\left(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt\right)\vec{k}$

La velocidad de avance horizontal permanece constante, mientras que la vertical varía linealmente con el tiempo. Comienza siendo positiva, se anula en el punto más alto, y a partir de ahí es negativa.

Para la aceleración, derivamos la velocidad instantánea respecto al tiempo y comprobamos que, tal como indica el enunciado, es constante

$\vec{a}=\dot{\vec{v}}=-g\vec{k}$

Posición	Velocidad	Aceleración

3 Celeridad y vector tangente en el punto de máxima altura

El instante $t_1\,$ en el que debemos calcular las diferentes magnitudes es aquel en el cual el proyectil alcanza su máxima altura. Ésta se alcanza cuando $z$ tiene un máximo, esto es, cuando la componente $z$ de la velocidad es nula

$0 = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=v_z = v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt_1$ $\Rightarrow$ $t_1 = \frac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}$

La posición, velocidad y aceleración en este instante las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores

$\vec{r}_1=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}\vec{k}$ $\vec{v}_1=v_0\cos\alpha\,\vec{\imath}$ $\vec{a}_1=-g\,\vec{k}$

3.1 Celeridad

La celeridad es el módulo de la velocidad. Para el instante estudiado vale

$v_1 = v_0\cos\alpha\,$

3.2 Vector tangente

Obtenemos el vector tangente en el instante estudiado dividiendo la velocidad por su módulo

$\vec{T}_1 = \frac{\vec{v}_1}{v_1}=\vec{\imath}$

4 Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de máxima altura

4.1 Aceleración tangencial

Obtenemos la componente tangencial de la aceleración proyectando sobre el vector tangente

$a_t = \vec{a}\cdot\vec{T}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v}$

Para el instante señalado es

$a_{t1}=0\,$

Esta nulidad de la aceleración tangencial sólo se produce en el punto de la trayectoria que estamos analizando (punto de máxima altura), y nos informa de que la celeridad del proyectil alcanza un mínimo en el vértice de la parábola.

En forma vectorial la aceleración tangencial es

$\vec{a}_t = (\vec{a}\cdot\vec{T})\vec{T}=\frac{(\vec{a}\cdot\vec{v})\vec{v}}{v^2}$

que nos da

$\vec{a}_{t1}=\vec{0}\,$

4.2 Aceleración normal

Una vez que tenemos la aceleración tangencial, calculamos la aceleración normal restando

$\vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t$

Lo que nos da:

$\vec{a}_{n1}=-g\,\vec{k}$

En módulo, esta aceleración normal vale

$a_{n1}=g\,$

4.3 Vector normal

El vector unitario normal lo hallamos dividiendo la aceleración normal por su módulo

$\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}$

y nos da

$\vec{N}_{1}=-\vec{k}$

Vemos que el vector normal apunta hacia el interior de la curva (entendiendo por interior el lado hacia el que se curva). Es inmediato comprobar que este vector es ortogonal al vector tangente.

Podemos hallar el vector binormal multiplicando vectorialmente el vector tangente por el normal

$\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}$

que da

$\vec{B}_1=\vec{\jmath}$

El vector binormal calculado en cualquier otro instante del movimiento sería el mismo, ya que estamos ante una trayectoria plana (vector binormal constante).

5 Radio y centro de curvatura en el punto de máxima altura

5.1 Radio de curvatura

Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad hallamos el radio de curvatura como

$R=\frac{v^2}{a_n}$

Sustituyendo tenemos, para el punto de máxima altura

$R_1=\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}$

El centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición de la partícula, el radio de curvatura y del vector normal

$\vec{r}_c = \vec{r}+R\vec{N}$

lo que nos da, para este punto

$\vec{r}_{c1}=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\,\vec{\imath}+\frac{v_0^2(\mathrm{sen}^2\alpha-2\cos^2\alpha)}{2g}\,\vec{k}$

@@ Línea 10: / Línea 10: @@
 # Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
-# Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a mayor altura.
+# Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante en el cual el proyectil se encuentra a máxima altura.
 # Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal, en el mismo instante del apartado anterior.
 # Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.
@@ Línea 23: / Línea 23: @@
 <center><math>\vec{r}_0 =\vec{0}</math></center>
-mientras que la velocidad inicial posee módulo <math>v_0</math> y forma un ángulo <math>\alpha</math> con la horizontal
+mientras que la velocidad inicial posee módulo <math>v_0\,</math> y forma un ángulo <math>\alpha</math> con la horizontal
 <center><math>\vec{v}_0 = v_0\cos(\alpha)\vec{\imath}+v_0\,\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}</math></center>
@@ Línea 29: / Línea 29: @@
 lo que nos da el vector de posición en cada instante
-<center><math>\vec{r}=(v_0\cos\alpha)t\vec{\imath}+\left((v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}</math></center>
+<center><math>\vec{r}=(v_0\cos\alpha)t\,\vec{\imath}+\left((v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}</math></center>
 Derivando el vector de posición respecto al tiempo obtenemos la velocidad intantánea
@@ Línea 55: / Línea 55: @@
 </center>
-==Celeridad y vector tangente==
+==Celeridad y vector tangente en el punto de máxima altura==
-El instante <math>t_1\,</math> en el que debemos calcular las diferentes magnitudes es:
+El instante <math>t_1\,</math> en el que debemos calcular las diferentes magnitudes es aquel en el cual el proyectil alcanza su máxima altura. Ésta se alcanza cuando <math>z</math> tiene un máximo, esto es, cuando la componente <math>z</math> de la velocidad es nula
-;Punto de máxima altura: La máxima altura se alcanza cuando <math>z</math> tiene un máximo, esto es, cuando la componente <math>z</math> de la velocidad es nula
 <center><math>0 = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=v_z = v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt_1</math>{{tose}} <math>t_1 = \frac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}</math></center>
-La posición, velocidad y aceleración, en este instante las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores
+La posición, velocidad y aceleración en este instante las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores
-;Punto de máxima altura:
+<center><math>\vec{r}_1=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}_1=v_0\cos\alpha\,\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}_1=-g\,\vec{k}</math></center>
-<center><math>\vec{r}_1=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}_1=v_0\cos\alpha\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}_1=-g\vec{k}</math></center>
 ===Celeridad===
-la celeridad es el módulo de la velocidad. Para el instante estudiado vale
+La celeridad es el módulo de la velocidad. Para el instante estudiado vale
-;Punto de máxima altura
 <center><math>v_1 = v_0\cos\alpha\,</math></center>
@@ Línea 76: / Línea 72: @@
 Obtenemos el vector tangente en el instante estudiado dividiendo la velocidad por su módulo
-;Punto de máxima altura
+<center><math>\vec{T}_1 = \frac{\vec{v}_1}{v_1}=\vec{\imath}</math></center>
-<center><math>\vec{T}_1 = \frac{\vec{v}_2}{v_2}=\vec{\imath}</math></center>
-==Componentes intrínsecas de la aceleración==
+==Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de máxima altura==
 ===Aceleración tangencial===
 Obtenemos la componente tangencial de la aceleración proyectando sobre el vector tangente
@@ Línea 85: / Línea 80: @@
 <center><math>a_t = \vec{a}\cdot\vec{T}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v}</math></center>
-Para los tres instantes señalados es
+Para el instante señalado es
-;Instante inicial:
+<center><math>a_{t1}=0\,</math></center>
-<center><math>a_{t1}=-g\,\mathrm{sen}\,\alpha</math></center>
-;Punto de máxima altura:
+Esta nulidad de la aceleración tangencial sólo se produce en el punto de la trayectoria que estamos analizando (punto de máxima altura), y nos informa de que la celeridad del proyectil alcanza un mínimo en el vértice de la parábola.
-<center><math>a_{t2}=0\,</math></center>
-;Punto de impacto
-<center><math>a_{t3}=g\,\mathrm{sen}\,\alpha</math></center>
-Vemos que, aunque la aceleración es constante, la aceleración tangencial no lo es. En el instante inicial es negativa, lo que indica que la partícula se está frenando. La celeridad alcanza un mínimo en el vértice de la parábola y a partir de ahí comienza a aumentar. En el punto de impacto la aceleración tangencial es positiva, lo que indica que la partícula se mueve cada vez más rápido.
 En forma vectorial la aceleración tangencial es
@@ Línea 104: / Línea 92: @@
 que nos da
-;Instante inicial:
+<center><math>\vec{a}_{t1}=\vec{0}\,</math></center>
-<center><math>\vec{a}_{t1}=-g\,\mathrm{sen}\,\alpha(\cos\alpha\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k})</math></center>
-;Punto de máxima altura:
-<center><math>\vec{a}_{t2}=\vec{0}\,</math></center>
-;Punto de impacto
-<center><math>\vec{a}_{t3}=g\,\mathrm{sen}\,\alpha(\cos\alpha\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k})</math></center>
 ===Aceleración normal===
@@ Línea 117: / Línea 98: @@
 [[Archivo:parabolico-atn.gif|right]]
-Una vez que tenemos la aceleración tangencial en cada uno de los tres puntos calculamos la aceleración normal restando
+Una vez que tenemos la aceleración tangencial, calculamos la aceleración normal restando
 <center><math>\vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t</math></center>
-Lo que nos da, en cada uno de los tres casos que estamos considerando
+Lo que nos da:
-;Instante inicial:
+<center><math>\vec{a}_{n1}=-g\,\vec{k}</math></center>
-<center><math>\vec{a}_{n1}=-g\vec{k}+g\,\mathrm{sen}\,\alpha(\cos\alpha\vec{\imath}+\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k})=g\cos\alpha(\mathrm{sen}\,\alpha\vec{\imath}-\cos\alpha\vec{k})</math></center>
-;Punto de máxima altura:
+En módulo, esta aceleración normal vale
-<center><math>\vec{a}_{n2}=-g\vec{k}</math></center>
-;Punto de impacto
+<center><math>a_{n1}=g\,</math></center>
-<center><math>\vec{a}_{n3}=-g\vec{k}-g\,\mathrm{sen}\,\alpha(\cos\alpha\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k})=g\cos\alpha(-\mathrm{sen}\,\alpha\vec{\imath}-\cos\alpha\vec{k})</math></center>
-En módulo, estas tres aceleraciones normales valen
-;Instante inicial:
-<center><math>a_{n1}=g\cos\alpha\,</math></center>
-;Punto de máxima altura:
-<center><math>a_{n2}=g\,</math></center>
-;Punto de impacto
-<center><math>a_{n3}=g\cos\alpha\,</math></center>
 ===Vector normal===
@@ Línea 153: / Línea 120: @@
 y nos da
-;Instante inicial:
+<center><math>\vec{N}_{1}=-\vec{k}</math></center>
-<center><math>\vec{N}_{1}=\mathrm{sen}\,\alpha\vec{\imath}-\cos\alpha\vec{k}</math></center>
-;Punto de máxima altura:
+Vemos que el vector normal apunta hacia el interior de la curva (entendiendo por interior el lado hacia el que se curva). Es inmediato comprobar que este vector es ortogonal al vector tangente.
-<center><math>\vec{N}_{2}=-\vec{k}</math></center>
-;Punto de impacto
+Podemos hallar el vector binormal multiplicando vectorialmente el vector tangente por el normal
-<center><math>\vec{N}_{3}=-\mathrm{sen}\,\alpha\vec{\imath}-\cos\alpha\vec{k}</math></center>
-Vemos que en todos los casos el vector normal apunta hacia el interior de la curva (entendiendo por interior el lado hacia el que se curva). Es inmediato comprobar que estos vectores son ortogonales a los vectores tangentes en cada caso.
-Podemos hallar el vector binormal en cada uno de los tres instantes, multiplicando el vector tangente por el normal
 <center><math>\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}</math></center>
-que, en los tres casos da
+que da
-<center><math>\vec{B}_1=\vec{B}_2=\vec{B}_3=\vec{\jmath}</math></center>
+<center><math>\vec{B}_1=\vec{\jmath}</math></center>
-lo que corresponde al hecho de que estamos ante una trayectoria plana, que tiene, por tanto, un vector binormal constante.
+El vector binormal calculado en cualquier otro instante del movimiento sería el mismo, ya que estamos ante una trayectoria plana (vector binormal constante).
 <center>[[Archivo:tiroparabolico.png]]</center>
-==Radio y centro de curvatura==
+==Radio y centro de curvatura en el punto de máxima altura==
 ===Radio de curvatura===
 Una vez que tenemos la aceleración normal y la celeridad hallamos el radio de curvatura como
@@ Línea 184: / Línea 144: @@
 Sustituyendo tenemos, para el punto de máxima altura
-<center><math>R=\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}</math></center>
+<center><math>R_1=\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}</math></center>
 El centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición de la partícula, el radio de curvatura y del vector normal
@@ Línea 192: / Línea 152: @@
 lo que nos da, para este punto
-<center><math>\vec{r}_{c}=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2(\mathrm{sen}^2\alpha-2\cos^2\alpha)}{2g}\vec{k}</math></center>
+<center><math>\vec{r}_{c1}=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\,\vec{\imath}+\frac{v_0^2(\mathrm{sen}^2\alpha-2\cos^2\alpha)}{2g}\,\vec{k}</math></center>
-==Valores numéricos==
-La componente tangencial de la velocidad es igual a su módulo, que para el vértice de la parábola vale
-<center><math>v = v_0\cos\alpha = \frac{25.0}{\sqrt{2}}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 17.7\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
-En el vértice de la parábola, según hemos visto, la aceleración es puramente normal, por lo que
-<center><math>a_t = 0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>a_n = 9.81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
-El radio de curvatura en este punto vale
-<center><math>R = \frac{v^2}{a_n} = 31.9\,\mathrm{m}</math></center>
-Por último, el centro de curvatura lo obtenemos a partir de la posición del vértice de la parábola y el radio de curvatura. La partícula alcanza el vértice en el instante en que velocidad vertical se anula
-<center><math>t_2 = \frac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g} = 1.80\,\mathrm{s}</math></center>
-La posición en ese momento es
-<center><math>\vec{r}_2 = (31.9\,\vec{\imath}+15.9\,\vec{k})\,\mathrm{m}</math></center>
-Sumando a este punto el radio de curvatura multiplicado por el vector normal
-<center><math>\vec{r}_c = \vec{r}_2+R\vec{N}=(31.9\,\vec{\imath}-15.9\,\vec{k})\,\mathrm{m}</math></center>
-El hecho de que resulte el simétrico es consecuencia de que el ángulo inicial sea de 45&deg;. Para otros ángulos no se produce esta situación.
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Contenido

1 Enunciado

2 Posición, velocidad y aceleración

3 Celeridad y vector tangente en el punto de máxima altura

3.1 Celeridad

3.2 Vector tangente

4 Componentes intrínsecas de la aceleración en el punto de máxima altura

4.1 Aceleración tangencial

4.2 Aceleración normal

4.3 Vector normal

5 Radio y centro de curvatura en el punto de máxima altura

5.1 Radio de curvatura

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