Bobina larga con material ferromagnético (F2GIA)
De Laplace
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==Solución== | ==Solución== | ||
===Campo en el interior del solenoide=== | ===Campo en el interior del solenoide=== | ||
| + | Una bobina o solenoide se construye con un conductor filiforme enrollado sobre una superficie, no necesariamente cilíndrica, pero que mantiene una sección transversal constante, a lo largo de una dirección longitudinal. Para que constituya un solenoide, es necesario que las <math>N</math> vueltas del conductor se realicen de manera que den lugar a un <math>N</math> espiras idénticas, contenidas en planos prácticamente paralelos y distribuidos de forma continua. Esto es posible si el hilo conductor que forma la bobina tiene un espesor despreciable en relación con las dimensiones de la bobina, y el devanado o enrollamiento se realiza sin solución de continuidad (cada vuelta está en contacto con la previa y la posterior). | ||
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| + | [[Archivo:solenoide_1.gif|left]]Cuando una corriente eléctrica estacionara recorre el conductor filiforme, en las <math>N</math> espiras del solenoide circula la misma intensidad de corriente. En el caso ideal de solenoide infinitamente largo con <math>n</math> espiras por unidad de longitud, una corriente eléctrica de intensidad <math>I_0</math> recorriendo el solenoide (o lo que es lo mismo, cada una de las espiras), crea un campo magnético uniforme (constante en módulo ,dirección y sentido), pero sólo en el interior de la bobina: | ||
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| + | <center><math>\mathbf{B}(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle \mathbf{B}_0=\mu_0n I_0\ \mathbf{k}\,\mathrm{;}\,&\;\;\mathrm{(interior)}\\ \\ | ||
| + | \displaystyle \mathbf{0}\,\mathrm{;}\,&\mathrm{(exterior)}\end{cases}</math></center> | ||
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| + | siendo <math>\mathbf{k}</math> el vector unitario en la dirección del eje de la bobina, es decir, la dirección perpendicular a los planos que contienen a las espiras o vuletas. El sentido de <math>\mathbf{B}_\mathrm{int}</math> queda determinado por el sentido en que la intensidad <math>I_0</math> recorra las espiras, siguiendo el criterio “levógiro” o del triedro directo. El resultado anterior es también válido en solenoides largos cuya longitud <math>L</math> sea considerablemente mayor que las dimensiones de cada espira, y siempre que se evalue el campo lo suficientemente lejos de los extremos de la bobina como para que ésta pueda considerarse de longitud indefinida. Si el conducto filiforme es muy delgado y el enrollamiento se ha hecho adecuadamente, la densidad de espiras será la relación entre el número y la longitud en la que se distribuyen (longitud del solenoide). En el caso bajo estudio... | ||
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| + | <center><math>n=\frac{N}{L}=\frac{500}{0.15}\,\ \mathrm{m}^{-1}\,</math></center> | ||
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| + | En consecuencia, la magnitud del campo magnético en el interior de la bobina (no cerca de los extremos), cuando por ella circula una corriente estacionaria de <math>I_0=1.5\,\mathrm{A}\,</math> es... | ||
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| + | <math>|\mathbf{B}_0|=\mu_0 n I_0\approx 6.3\,\mathrm{mT}\,</math></center> | ||
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| + | ===Permeabilidad relativa e imanación de la barra=== | ||
| + | Los ferromagnéticos son materiales que sometidos a la acción de un campo magnético, sufren un proceso de imanación: los momentos dipolares magnéticos que caracterizan macroscópicamente las propiedades mangéticas de sus átomos y moléculas, se orientan localmente en una dirección dominante, de manera que en cada punto <math>P</math> del medio existe un momento dipolar magnético por unidad de volumen, <math>\mathbf{M}(P)\neq \mathbf{0}</math>. Los disitintos valores de esta magnitud en el medio material, constituyen el ''campo de imanación''. | ||
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| + | [[Archivo:solenoide_2.gif|left]]Si en el interior del solenoide, donde existe el campo <math>\mathbf{B}_0</math>, se coloca una barra de material ferromagnético, ésta se imanará. El campo de imanación resultante, <math>\mathbf{M}_\mathrm{int}(\mathbf{r})</math>, crea su propio campo magnético que se superpone al generado por la corriente <math>I_0</math>, de manera que el campo magnético total existente en el interior de medio magnético será: | ||
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| + | <center><math>\mathbf{B}_\mathrm{int}(\mathbf{r})=\mathbf{B}_0+\mu_0\!\ \mathbf{M}_\mathrm{int}(\mathbf{r})</math></center> | ||
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| + | Obviamente, el campo de imanación <math>\mathbf{M}_\mathrm{int}(\mathbf{r})</math> va a estar directamente relacionado con el “imanante” <math>\mathbf{B}_0</math>, dependiendo la relación de la naturaleza de la sustancia imanada. En el caso de los materiles ferromagnéticos, la imanación para un rango amplio de valores del campo magnético aplicado presentan un típico comportamiento no lineal caracterizado por lo que se conoce ''ciclo de histéresis''. No obstante, si el campo aplicado es débil, éste y la imanación en el ferromagnético van a tener igual dirección y sentido (comportamiento paramagnético), y módulos proporcionales: | ||
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| + | <center><math>\mathbf{M}_\mathrm{int}=\frac{\chi_m}{\mu_0}\ \mathbf{B}_0\quad\Longrightarrow\quad \mathbf{B}_\mathrm{int}=(1+\chi_m)\!\ \mathbf{B}_0=K_m\!\ \mathbf{B}_0</math></center> | ||
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| + | siendo la susceptibilidad magnética, <math>\chi_m</math>, y la permeabilidad magnética relativa, <math>K_m</math>, parámetros característicos del material cuyos valores son mucho mayores que 1, en general. | ||
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| + | En el solenoide bajo estudio hemos comprobado que una intensidad de <math> 1.5\,\mathrm{A}\,</math> produce un campo de unos cuantos militesla, que podemos considerar lo suficientemente débil como para que la imanación de la barra ferromagnética sea lineal. Por tanto, a partir del dato de que con la barra ferromagnética el campo magnético se multiplica por un factor <math>7\times 10^3</math>, se pueden obtener los valores de la permeabilidad relativa y susceptibilidad magnética del material: | ||
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| + | <center><math>K_m=\frac{|\mathbf{B}_\mathrm{int}|}{|\mathbf{B}_0|}\approx 7000\quad\Longrightarrow\quad\chi_m=K_m-1\approx K_m</math></center> | ||
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| + | El valor de susceptibilidad permite determinar cuánto vale la imanación en la barra cuando por la bobina circula la corriente <math>I_0=1.5\,\mathrm{A}\,</math>, que al igual que <math>\mathbf{B}_0</math> será un campo uniforme: | ||
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| + | <center><math>\mathbf{M}_\mathrm{int}=\frac{\chi_m}{\mu_0}\ \mathbf{B}_0=M_0\!\ \mathbf{k}\,\mathrm{,}\,\quad\;\mathrm{siendo}\quad\;\; M_0=\chi_m n I_0\approx 35\times 10^6\,\mathrm{A}/\mathrm{m}</math></center> | ||
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| + | ===Desimanación de un ferromagnético mediante la bobina=== | ||
| + | En la figura se muestra el ciclo de histéresis de un material ferromagnético. Partiendo de un estado desimanado, el aumento de la magnitud <math>B_0</math> del campo aplicado al ferromagnético (por ejemplo, mediante una bobina enrollada o solenoide) produce una imanación de igual dirección y sentido, y módulo proporcional. Esta linealidad desaparece cuando la magnitud de la imanación se aproxima a un valor de ''saturación'' <math>M_s</math>, que no va a superar por mucho que siga creciendo el campo aplicado. Pero cuando se disminuye la magnitud de <math>B_0</math>, incluso hasta hacerlo nulo (cortando la corriente o sacando el ferromagnético del interior del solenoide), en el medio permanece una valor ''remanente'' de imanación, <math>M_r</math> (punto “F” en la gráfica del ciclo de histéresis). Se dice entonces que el medio ferromagnético tiene imanación permanente, constityendo un imán. | ||
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| + | [[Archivo:histeresis.gif|right]]Para desimanar el medio ha de aplicarse un valor ''coercitivo'' <math>-B_c</math> de campo magnético, que hace que la desaparezca la imanción del ferromagnético (punto “G” en la gráfica). Dicho valor del campo aplicado <math>\mathbf{B}_0</math> debe tener igual dirección y sentido contrario al de la imanación remanente correspondiente al medio magnetizado. Así, consideremos que el campo de imanación uniforme en la barra ferromagnética bajo estudio tiene la dirección longitudinal <math>OZ</math> de su eje, y el sentido del unitario <math>\mathbf{k}</math>: | ||
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| + | <center><math>\mathbf{M}\big\rfloor_{F}=M_r\!\ \mathbf{k}</math></center> | ||
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| + | El valor coercitivo del campo aplicado tener el sentido contrario. Por tanto, si dicho campo es aplicado con la bobina o solenoide largo analizado en los apartados anteriores, la corriente eléctrica <math>I_c</math> que lo produce debe recorrer las espiras del solenoide en sentido “horario”. La intensidad de corriente que produce dicho campo coercitivo es... | ||
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| + | <center><math>\mathbf{B}_0\big\rfloor_{G}=-B_c\!\ \mathbf{k}=-\mu_0nI_c\!\ \mathbf{k}\quad\Longrightarrow\quad I_c=\frac{B_c}{\mu_0n}\approx 6 \,\mathrm{A}\,</math></center> | ||
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| + | <center>[[Archivo:solenoide_3.gif]]</center> | ||
última version al 11:11 14 jun 2012
Contenido |
1 Enunciado
Se dispone de una bobina de 
de longitud y 500 vueltas que puede considerarse un solenoide largo. Se hace pasar por el solenoide una corriente de 
y, a continuación, se introduce una barra de material ferromagnético en su interior. Al hacer esto se comprueba que el campo magnético en el interior del solenoide se ha multiplicado por 7000. Calcúlese:
- Campo magnético en el interior del solenoide antes de introducir la barra ferromagnética.
- Permeabilidad relativa y valor del campo de imanación en la barra ferromagnética.
- El solenoide se utiliza para desimanar una barra imantada en su dirección longitudinal, que tiene un campo coercitivo
. ¿Qué intensidad de corriente y en qué sentido debe circular por la bobina para anular el campo en su interior?
Datos: 
2 Solución
2.1 Campo en el interior del solenoide
Una bobina o solenoide se construye con un conductor filiforme enrollado sobre una superficie, no necesariamente cilíndrica, pero que mantiene una sección transversal constante, a lo largo de una dirección longitudinal. Para que constituya un solenoide, es necesario que las N vueltas del conductor se realicen de manera que den lugar a un N espiras idénticas, contenidas en planos prácticamente paralelos y distribuidos de forma continua. Esto es posible si el hilo conductor que forma la bobina tiene un espesor despreciable en relación con las dimensiones de la bobina, y el devanado o enrollamiento se realiza sin solución de continuidad (cada vuelta está en contacto con la previa y la posterior).
siendo 
el vector unitario en la dirección del eje de la bobina, es decir, la dirección perpendicular a los planos que contienen a las espiras o vuletas. El sentido de 
queda determinado por el sentido en que la intensidad I0 recorra las espiras, siguiendo el criterio “levógiro” o del triedro directo. El resultado anterior es también válido en solenoides largos cuya longitud L sea considerablemente mayor que las dimensiones de cada espira, y siempre que se evalue el campo lo suficientemente lejos de los extremos de la bobina como para que ésta pueda considerarse de longitud indefinida. Si el conducto filiforme es muy delgado y el enrollamiento se ha hecho adecuadamente, la densidad de espiras será la relación entre el número y la longitud en la que se distribuyen (longitud del solenoide). En el caso bajo estudio...
En consecuencia, la magnitud del campo magnético en el interior de la bobina (no cerca de los extremos), cuando por ella circula una corriente estacionaria de 
es...
2.2 Permeabilidad relativa e imanación de la barra
Los ferromagnéticos son materiales que sometidos a la acción de un campo magnético, sufren un proceso de imanación: los momentos dipolares magnéticos que caracterizan macroscópicamente las propiedades mangéticas de sus átomos y moléculas, se orientan localmente en una dirección dominante, de manera que en cada punto P del medio existe un momento dipolar magnético por unidad de volumen, 
. Los disitintos valores de esta magnitud en el medio material, constituyen el campo de imanación.
, se coloca una barra de material ferromagnético, ésta se imanará. El campo de imanación resultante, 
, crea su propio campo magnético que se superpone al generado por la corriente I0, de manera que el campo magnético total existente en el interior de medio magnético será:
Obviamente, el campo de imanación va a estar directamente relacionado con el “imanante” , dependiendo la relación de la naturaleza de la sustancia imanada. En el caso de los materiles ferromagnéticos, la imanación para un rango amplio de valores del campo magnético aplicado presentan un típico comportamiento no lineal caracterizado por lo que se conoce ciclo de histéresis. No obstante, si el campo aplicado es débil, éste y la imanación en el ferromagnético van a tener igual dirección y sentido (comportamiento paramagnético), y módulos proporcionales:
siendo la susceptibilidad magnética, χm, y la permeabilidad magnética relativa, Km, parámetros característicos del material cuyos valores son mucho mayores que 1, en general.
En el solenoide bajo estudio hemos comprobado que una intensidad de produce un campo de unos cuantos militesla, que podemos considerar lo suficientemente débil como para que la imanación de la barra ferromagnética sea lineal. Por tanto, a partir del dato de que con la barra ferromagnética el campo magnético se multiplica por un factor 
, se pueden obtener los valores de la permeabilidad relativa y susceptibilidad magnética del material:
El valor de susceptibilidad permite determinar cuánto vale la imanación en la barra cuando por la bobina circula la corriente , que al igual que será un campo uniforme:
2.3 Desimanación de un ferromagnético mediante la bobina
En la figura se muestra el ciclo de histéresis de un material ferromagnético. Partiendo de un estado desimanado, el aumento de la magnitud B0 del campo aplicado al ferromagnético (por ejemplo, mediante una bobina enrollada o solenoide) produce una imanación de igual dirección y sentido, y módulo proporcional. Esta linealidad desaparece cuando la magnitud de la imanación se aproxima a un valor de saturación Ms, que no va a superar por mucho que siga creciendo el campo aplicado. Pero cuando se disminuye la magnitud de B0, incluso hasta hacerlo nulo (cortando la corriente o sacando el ferromagnético del interior del solenoide), en el medio permanece una valor remanente de imanación, Mr (punto “F” en la gráfica del ciclo de histéresis). Se dice entonces que el medio ferromagnético tiene imanación permanente, constityendo un imán.
debe tener igual dirección y sentido contrario al de la imanación remanente correspondiente al medio magnetizado. Así, consideremos que el campo de imanación uniforme en la barra ferromagnética bajo estudio tiene la dirección longitudinal OZ de su eje, y el sentido del unitario :
El valor coercitivo del campo aplicado tener el sentido contrario. Por tanto, si dicho campo es aplicado con la bobina o solenoide largo analizado en los apartados anteriores, la corriente eléctrica Ic que lo produce debe recorrer las espiras del solenoide en sentido “horario”. La intensidad de corriente que produce dicho campo coercitivo es...
