Fuerza en anilla ensartada en varillas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 20:37 24 nov 2020

1 Enunciado

Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ´esta de masa m, (a) despreciando el peso, (b) considerando el peso en la dirección de OY negativo. Tenga en cuenta que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

2 Sin considerar el peso

Conocemos el movimiento de la anilla; se ve en este problema y en este otro: describe un movimiento circular uniforme en torno al punto medio de los dos anclajes, siendo su velocidad angular $2Ω$ y el radio de giro $L / 2$ . La ecuación horaria del movimiento es, respecto al anclaje de la izquierda,

$\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}$

o, expresada en coordenadas polares respecto a este mismo punto

$\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \theta = \Omega t$

La fuerza neta que actúa sobre la anilla nos la da la segunda ley de Newton

$\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}$

que en coordenadas polares queda

$\vec{F}=m\vec{a}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right)\vec{u}_\rho + m\left(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}\right)\vec{u}_\theta$

Si no consideramos el peso, las fuerzas que actúan sobre la anilla se deben exclusivamente a las dos varillas

$\vec{F}=\vec{F}_L+\vec{F}_R$

La varilla de la derecha ejerce sobre la anilla una fuerza $\vec{F}_R$ . Esta fuerza es siempre perpendicular a la propia varilla (ya que ésta no puede impedir que la anilla) se mueva a lo largo de ella. Pero la perpendicular a la varilla de la derecha es justamente la dirección de la varilla de la izquierda, que a su vez es la dirección radial desde O. Por tanto

$\vec{F}_R = \vec{F}_\rho = m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho$

Calculamos los términos que aparecen en esta expresión

$\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \dot{\rho}=-L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad \ddot{\rho}=-L\Omega^2\cos(\Omega t)$ $\theta = \Omega t \qquad\qquad\dot{\theta}=\Omega\qquad\qquad \ddot{\theta}=0$

y por tanto

$\vec{F}_R = m\left(-L\Omega^2\cos(\Omega t)-L\Omega^2\cos(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho=-2mL\Omega^2\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho$

Asimismo, la fuerza ejercida por la varilla de la izquierda $\vec{F}_L$ va en la dirección perpendicular a ella misma. Por tanto $\vec{F}_L$ va en la dirección de $\vec{u}_\theta$ y es igual a

$\vec{F}_L = m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{u}_\theta = -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\theta$

3 Incluyendo el peso

Cuando se considera el peso, el cálculo es similar, ya que podemos aplicar el principio de superposición. Incluyendo el peso, la ecuación de movimiento queda

$\vec{F}_L+\vec{F}_R + m\vec{g} = m\vec{a}$

o, equivalentemente,

$\vec{F}_L+\vec{F}_R = m\vec{a} - m\vec{g}$

Incluso si consideramos el peso, la aceleración es la misma que en el apartado anterior, ya que el movimiento de la anilla está gobernado por las barras. la anilla tiene 0 grados de libertad.

Como en el apartado anterior

$\vec{F}_R=F_\rho\vec{u}_\rho\qquad\qquad \vec{F}_L=F_\theta\vec{u}_\theta$

Lo único que nos resta hacer es descomponer el peso en sus componentes polares. Esto se consigue empleando la relación entre bases:

$\vec{\jmath}=\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho+\cos(\theta)\vec{u}_\theta$

y por tanto

$m\vec{g}=-mg\vec{\jmath} = -mg\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho-mg\cos(\theta)\vec{u}_\theta$

Sumando esto a los resultados que ya teníamos nos queda

$\vec{F}_R =\left( -2mL\Omega^2\cos(\Omega t)-mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho$ $\vec{F}_L =\left( -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)-mg\,\mathrm{cos}(\Omega t)\right)\vec{u}_\theta$

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 ==Sin considerar el peso==
-[[Anilla_ensartada_en_dos_varillas_(GIE)|Conocemos el movimiento]] de la anilla: describe un movimiento circular uniforme en torno al punto medio de los dos anclajes, siendo su velocidad angular <math>2\Omega</math> y el radio de giro <math>L/2</math>. La ecuación horaria del movimiento es, respecto al anclaje de la izquierda,
+Conocemos el movimiento de la anilla; se ve en [[Anilla_ensartada_en_dos_varillas_(GIE)|este problema]] y en [[Ejemplo_de_movimiento_expresado_en_polares|este otro]]: describe un movimiento circular uniforme en torno al punto medio de los dos anclajes, siendo su velocidad angular <math>2\Omega</math> y el radio de giro <math>L/2</math>. La ecuación horaria del movimiento es, respecto al anclaje de la izquierda,
 <center><math>\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>
+o, expresada en coordenadas polares respecto a este mismo punto
+<center><math>\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \theta = \Omega t</math></center>
 La fuerza neta que actúa sobre la anilla nos la da la segunda ley de Newton
 <center><math>\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}</math></center>
+que en coordenadas polares queda
+<center><math>\vec{F}=m\vec{a}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right)\vec{u}_\rho + m\left(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}\right)\vec{u}_\theta</math></center>
+Si no consideramos el peso, las fuerzas que actúan sobre la anilla se deben exclusivamente a las dos varillas
+<center><math>\vec{F}=\vec{F}_L+\vec{F}_R</math></center>
+La varilla de la derecha ejerce sobre la anilla una fuerza <math>\vec{F}_R</math>. Esta fuerza es siempre perpendicular a la propia varilla (ya que ésta no puede impedir que la anilla) se mueva a lo largo de ella. Pero la perpendicular a la varilla de la derecha es justamente la dirección de la varilla de la izquierda, que a su vez es la dirección radial desde O. Por tanto
+<center><math>\vec{F}_R = \vec{F}_\rho = m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho</math></center>
+Calculamos los términos que aparecen en esta expresión
+<center><math>\rho = L\cos(\Omega t)\qquad\qquad \dot{\rho}=-L\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\qquad\qquad \ddot{\rho}=-L\Omega^2\cos(\Omega t)</math></center>
+<center><math>\theta = \Omega t \qquad\qquad\dot{\theta}=\Omega\qquad\qquad \ddot{\theta}=0</math></center>
+y por tanto
+<center><math>\vec{F}_R = m\left(-L\Omega^2\cos(\Omega t)-L\Omega^2\cos(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho=-2mL\Omega^2\cos(\Omega t)\vec{u}_\rho</math></center>
+Asimismo, la fuerza ejercida por la varilla de la izquierda <math>\vec{F}_L</math> va en la dirección perpendicular a ella misma. Por tanto <math>\vec{F}_L</math> va en la dirección de <math>\vec{u}_\theta</math> y es igual a
+<center><math>\vec{F}_L = m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{u}_\theta = -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{u}_\theta</math></center>
+[[Archivo:fuerza-dos-variilas-01.png|right]]
 ==Incluyendo el peso==
+Cuando se considera el peso, el cálculo es similar, ya que podemos aplicar el principio de superposición. Incluyendo el peso, la ecuación de movimiento queda
+<center><math>\vec{F}_L+\vec{F}_R + m\vec{g} = m\vec{a}</math></center>
+o, equivalentemente,
+<center><math>\vec{F}_L+\vec{F}_R = m\vec{a} - m\vec{g}</math></center>
+Incluso si consideramos el peso, la aceleración es la misma que en el apartado anterior, ya que el movimiento de la anilla está gobernado por las barras. la anilla tiene 0 grados de libertad.
+Como en el apartado anterior
+<center><math>\vec{F}_R=F_\rho\vec{u}_\rho\qquad\qquad \vec{F}_L=F_\theta\vec{u}_\theta</math></center>
+Lo único que nos resta hacer es descomponer el peso en sus componentes polares. Esto se consigue empleando la relación entre bases:
+<center><math>\vec{\jmath}=\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho+\cos(\theta)\vec{u}_\theta</math></center>
+y por tanto
+<center><math>m\vec{g}=-mg\vec{\jmath} = -mg\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_\rho-mg\cos(\theta)\vec{u}_\theta</math></center>
+Sumando esto a los resultados que ya teníamos nos queda
+<center><math>\vec{F}_R =\left( -2mL\Omega^2\cos(\Omega t)-mg\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{u}_\rho</math></center>
+<center><math>\vec{F}_L =\left( -2mL\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)-mg\,\mathrm{cos}(\Omega t)\right)\vec{u}_\theta</math></center>
 [[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIE)]]

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