Cuestión de álgebra vectorial, Noviembre 2011

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 10:34 28 sep 2016

Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Longitud de la diagonal
- 2.2 Coordenadas del vértice C

1 Enunciado

El rombo

O A C B

tiene sus lados de longitud unidad y su

área es igual a $\displaystyle\sqrt{3}/2$ . Su lado $O A$ se encuentra en el plano $O X Y$ de un sistema de referencia cartesiano, formando un ángulo de $π / 4$ con el eje $O X$ . El lado $O B$ forma un ángulo de $π / 4$ con el eje $O Z$ .

Calcular la longitud de la diagonal $O C$
Determinar las coordenads cartesianas del vértice $C$

2 Solución

2.1 Longitud de la diagonal

Consideremos los vectores $\vec{a}$ , $\vec{b}$ y $\vec{c}$ , de igual módulo, dirección y sentido que los respectivos segmentos orientados $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{OC}$ . Al corresponder éstos con dos lados adyacentes y la diagonal del rombo, se tendrán que

$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$

La longitud de la diagonal $O C$ es el módulo de este vector,

$|\overrightarrow{OC}|=|\vec{c}|=\sqrt{\vec{c}\cdot\vec{c}}\mathrm{,}$

que podemos obtener a partir del producto escalar del vector por sí mismo:

$\vec{c}\cdot\vec{c}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}$

Como los lados $O A$ y $O B$ tienen longitud unidad, sus correspondientes vectores tienen módulo 1. Se tendrán entonces,

$\vec{c}\cdot\vec{c}=|\vec{a}|^2+2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta+|\vec{b}|^2=2+2\cos\theta\mathrm{,}$

siendo $θ$ el ángulo que forman los segmentos $\overrightarrow{OA}$ y $\overrightarrow{OB}$ . Y para determinar el valor de dicho ángulo, utilizamos el dato del área del rombo que, al ser esta figura un paralelogramo, será igual al módulo del producto vectorial de los vectores que se corresponden con dos lados adyacentes; es decir,

$S_{OACB}=|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\ \mathrm{sen}\ \!\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Aplicando de nuevo que los lados del rombo tienen longitud unidad y que, por tanto, los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ tienen módulo uno, se obtiene...

$S_{OACB}= \mathrm{sen}\!\ \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow$ $\theta=\frac{\pi}{3}$

Y con este resultado ya podemos determinar la magnitud de la diagonal del rombo:

$|\overrightarrow{OC}|=|\vec{c}|=\sqrt{2+2\cos \frac{\pi}{3}}=\sqrt{3}$

2.2 Coordenadas del vértice C

Al tomar el origen del sistema de referencia en el vértice $O$ del rombo, las coordenadas cartesianas del vértice $C$ son las mismas que las del vector $\vec{c}$ cuyo módulo dirección y sentido son los del segmento orientado $\overrightarrow{OC}$ . Y, como sabemos, el vector $\vec{c}$ lo podemos obtener como la suma de los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ . Así que, comencemos por la obtención de las expresiones analíticas de estos dos vectores en la base cartesiana. Ambos son vectores unitarios, por tanto, sus correspondientes coordenadas cartesianas serán sus cosenos directores respecto de las direcciones $O X$ , $O Y$ y $O Z$ .

Al estar contenido en el plano $O X Y$ , el segmento orientado $\overrightarrow{OA}$ forma un ángulo $π / 2$ con el eje $O Z$ y, según se indica en el enunciado, sendos ángulos $π / 4$ con los ejes $O X$ y $O Y$ . Por tanto,

$\vec{a}=\cos\frac{\pi}{4}\ \vec{\imath}\ +\cos \frac{\pi}{4}\ \vec{\jmath}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ (\vec{\imath}\ +\ \vec{\jmath})$

Por su parte, sabemos que el vector $\vec{b}$ forma un ángulo $π / 4$ con el eje $O Z$ , pero desconocemos los ángulos $α$ y $β$ que forma con los ejes $O X$ y $O Y$ ; es decir, desconocemos sus componentes cartesianas “ $x$ ” e “ $y$ ”:

$\vec{b}=\cos\alpha\ \vec{\imath}\ + \cos\beta\ \vec{\jmath}\ + \cos\frac{\pi}{4}\ \vec{k}=b_x \ \vec{\imath}\ + b_y \ \vec{\jmath}\ + \ \frac{\sqrt{2}}{2}\ \vec{k}$

Para determinar los valores de las coordenadas desconocidas utilizaremos dos datos que conocemos: el módulo del vector $\vec{b}$ y el valor del producto escalar de este vector por el $\vec{a}$ , a partir de los que podremos plantear sendas ecuaciones algebraicas cuya solución serán las coordenadas desconocidas del vector $\vec{b}$ :

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle 1=|\vec{b}|^2=\vec{b}\cdot\vec{b}=b_x^2+b_y^2+\frac{1}{2}\\ \\ \displaystyle |\vec{a}||\vec{b}|\cos\frac{\pi}{3}=\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}(b_x+b_y) \end{array}\right\}\qquad\longrightarrow\qquad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle b_x^2+b_y^2=\frac{1}{2}\\ \\ \displaystyle b_x+b_y=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right.$

Este sistema de ecuaciones admite dos soluciones posibles. Una de ellas es:

$b_x=0\mathrm{;}\qquad b_y=\frac{\sqrt{2}}{2}$

lo que implica que significa que el vector $\vec{b}$ (y el punto $B$ ), está contenido en el plano $O Y Z$ (es decir, $α = π / 2$ ), formando también un ángulo $β = π / 4$ con el eje $O Y$ . La otra solución es...

$b_x=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{;}\qquad b_y=0$

Para ésta, el punto $B$ y el vector $\vec{b}$ están incluidos en el plano $O X Z$ ( $β = π / 2$ ), y este último forma ángulos de $π / 4$ con los ejes $O X$ y $O Z$ . A cada una de estas soluciones le correponde una posición distinta del vértice $C$ :

$\displaystyle\vec{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\vec{\jmath}\ + \ \vec{k})$ $\Rightarrow$ $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \vec{\imath}\ + \ \sqrt{2}\ \vec{\jmath}\ +\ \frac{\sqrt{2}}{2}\ \vec{k}$ $\Rightarrow$ $C\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{,}\sqrt{2}\mathrm{,}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$\displaystyle\vec{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\vec{\imath}\ + \ \vec{k})$ $\Rightarrow$ $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=\sqrt{2}\ \vec{\imath}\ + \ \frac{\sqrt{2}}{2}\ \vec{\jmath}\ +\ \frac{\sqrt{2}}{2}\ \vec{k}$ $\Rightarrow$ $C\left(\sqrt{2}\mathrm{,}\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{,}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

@@ Línea 34: / Línea 34: @@
 <center><math>S_{OACB}= \mathrm{sen}\!\ \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}</math>{{qquad}}{{tose}}{{qquad}}<math style="border:solid grey 2px;padding:10px">\theta=\frac{\pi}{3}</math></center>
-Y con este resultado ya podemos determgitud de las diagonales del rombo:
+Y con este resultado ya podemos determinar la magnitud de la diagonal del rombo:
 <center><math style="border:solid purple 2px;padding:10px"
@@ Línea 48: / Línea 48: @@
 Por su parte, sabemos que el vector <math>\vec{b}</math> forma un ángulo <math>\pi/4</math> con el eje <math>OZ</math>, pero desconocemos los ángulos <math>\alpha</math> y <math>\beta</math> que forma con los ejes <math>OX</math> y <math>OY</math>; es decir, desconocemos sus componentes cartesianas &ldquo;<math>x</math>&rdquo; e &ldquo;<math>y</math>&rdquo;:
-<center><math>\vec{b}=\cos\alpha\ \vec{\imath}\ + \cos\beta\ \vec{\jmath}\ + \cos\frac{\pi}{4}\ \vec{k}</math></center>
+<center><math>\vec{b}=\cos\alpha\ \vec{\imath}\ + \cos\beta\ \vec{\jmath}\ + \cos\frac{\pi}{4}\ \vec{k}=b_x \ \vec{\imath}\ +  b_y \ \vec{\jmath}\ + \ \frac{\sqrt{2}}{2}\ \vec{k}</math></center>
-<center><math>\cos\alpha\ \+\cos \beta\  +=b_x\ \vec{\imath}\ +\ b_y\  \vec{\jmath}\ +  \frac{\sqrt{2}}{2}</math></center>
+Para determinar los valores de las coordenadas desconocidas utilizaremos dos datos que conocemos: el módulo del vector <math>\vec{b}</math> y el valor del producto escalar de este vector por el <math>\vec{a}</math>, a partir de los que podremos plantear sendas ecuaciones algebraicas cuya solución serán las coordenadas desconocidas del vector <math>\vec{b}</math>:
+<center><math>\left.\begin{array}{l}\displaystyle 1=|\vec{b}|^2=\vec{b}\cdot\vec{b}=b_x^2+b_y^2+\frac{1}{2}\\ \\
+\displaystyle |\vec{a}||\vec{b}|\cos\frac{\pi}{3}=\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}(b_x+b_y)
+\end{array}\right\}\qquad\longrightarrow\qquad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle b_x^2+b_y^2=\frac{1}{2}\\ \\
+\displaystyle b_x+b_y=\frac{\sqrt{2}}{2}
+\end{array}\right.
+</math></center>
+Este sistema de ecuaciones admite dos soluciones posibles. Una de ellas es:
+<center><math>b_x=0\mathrm{;}\qquad b_y=\frac{\sqrt{2}}{2}</math></center>
+lo que implica que significa que el vector <math>\vec{b}</math> (y el punto <math>B</math>), está contenido en el plano <math>OYZ</math> (es decir, <math>\alpha=\pi/2</math>), formando también un ángulo <math>\beta=\pi/4</math> con el eje <math>OY</math>. La otra solución es...
+<center><math>b_x=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{;}\qquad b_y=0</math></center>
+Para ésta, el punto <math>B</math> y el vector <math>\vec{b}</math> están incluidos en el plano <math>OXZ</math> (<math>\beta=\pi/2</math>), y este último forma ángulos de <math>\pi/4</math> con los ejes <math>OX</math> y <math>OZ</math>. A cada una de estas soluciones le correponde una posición distinta del vértice <math>C</math>:
+<center><math>\displaystyle\vec{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\vec{\jmath}\ + \ \vec{k})
+</math>{{qquad}}{{tose}}{{qquad}}<math>\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \vec{\imath}\ + \ \sqrt{2}\ \vec{\jmath}\ +\ \frac{\sqrt{2}}{2}\ \vec{k}</math>{{qquad}}{{tose}}{{qquad}}<math style="border:solid green 2px;padding:10px">C\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{,}\sqrt{2}\mathrm{,}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)</math></center>
+&nbsp;
+<center><math>\displaystyle\vec{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\vec{\imath}\ + \ \vec{k})
+</math>{{qquad}}{{tose}}{{qquad}}<math >\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=\sqrt{2}\  \vec{\imath}\ + \ \frac{\sqrt{2}}{2}\ \vec{\jmath}\ +\ \frac{\sqrt{2}}{2}\ \vec{k}</math>{{qquad}}{{tose}}{{qquad}}<math >C\left(\sqrt{2}\mathrm{,}\frac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{,}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)</math></center>
+[[Categoría:Problemas de examen F1 GIA]]

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2 Solución

2.1 Longitud de la diagonal

2.2 Coordenadas del vértice C

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