2.5. Rectilíneo con desaceleración creciente (Ex.Nov/11)
De Laplace
(→Velocidad y posición) |
m (3.5. Rectilíneo con desaceleración creciente (Ex.Nov/11) trasladada a 2.5. Rectilíneo con desaceleración creciente (Ex.Nov/11)) |
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==Enunciado== | ==Enunciado== | ||
- | Una partícula está recorriendo el eje OX en sentido positivo con una celeridad constante de 25 m/s. En un instante dado (t=0) se detecta un obstáculo en su trayectoria a 50 m por delante de ella. A partir de dicho instante se le aplica a la partícula una desaceleración creciente en el tiempo según la fórmula <math>\,\vec{a}(t)=-Kt\,\vec{\imath}\,\,</math>, donde <math>K\,</math> es una constante de valor igual a 8.00 m/s | + | Una partícula está recorriendo el eje OX en sentido positivo con una celeridad constante de 25 m/s. En un instante dado (t=0) se detecta un obstáculo en su trayectoria a 50 m por delante de ella. A partir de dicho instante se le aplica a la partícula una desaceleración creciente en el tiempo según la fórmula <math>\,\vec{a}(t)=-Kt\,\vec{\imath}\,\,</math>, donde <math>K\,</math> es una constante de valor igual a 8.00 m/s³. ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse la partícula? ¿A qué distancia del obstáculo se detendrá? |
==Velocidad y posición== | ==Velocidad y posición== | ||
Línea 9: | Línea 9: | ||
Considerando por simplicidad que el origen de coordenadas coincide con la posición de la partícula en el instante en que se detecta el obstáculo <math>(t=0)\,</math>, conocemos también las condiciones iniciales: | Considerando por simplicidad que el origen de coordenadas coincide con la posición de la partícula en el instante en que se detecta el obstáculo <math>(t=0)\,</math>, conocemos también las condiciones iniciales: | ||
- | <center><math>x(0)=0\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_x(0)=\dot{x}(0)=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}</math></center> | + | <center><math>x(0)=0\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_x(0)=\dot{x}(0)=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}</math></center> |
Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula para <math>t>0\,</math> se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico: | Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula para <math>t>0\,</math> se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico: | ||
- | <center><math>\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}=-Kt\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}v_x=-Kt\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\int_{v_x(0)}^{v_x(t)}\!\mathrm{d}v_x=-K\int_{0}^{t}\!t\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_x(t)=v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2 </math></center> | + | <center><math>\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}=-Kt\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}v_x=-Kt\,\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\int_{v_x(0)}^{v_x(t)}\!\mathrm{d}v_x=-K\!\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_x(t)=v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2 </math></center> |
- | <center><math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}x=\left | + | <center><math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}x=\left[v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\right]\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\int_{x(0)}^{x(t)}\!\mathrm{d}x=\int_{0}^{t}\!\left[v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\right]\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,x(t)=x(0)+v_x(0)t-\frac{1}{6}Kt^3</math></center> |
==Tiempo que tarda en detenerse== | ==Tiempo que tarda en detenerse== | ||
La partícula se detendrá en el instante <math>t=t^*\,</math> en el que se anule su velocidad, es decir: | La partícula se detendrá en el instante <math>t=t^*\,</math> en el que se anule su velocidad, es decir: | ||
- | <center><math>v_x(t*)=0\,\,\,\,\,\ | + | <center><math>v_x(t^{*})=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_x(0)-\frac{1}{2}K(t^*)^2=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,t^*=\sqrt{\frac{2v_x(0)}{K}}</math></center> |
y sustituyendo los datos numéricos: | y sustituyendo los datos numéricos: | ||
- | <center><math>t^*=\sqrt{\frac{2\cdot 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^3}}\,\mathrm{s}=2.50\,\mathrm{s}</math></center> | + | <center><math>t^*=\sqrt{\frac{2\cdot 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{8.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^3}}\,\mathrm{s}=2.50\,\mathrm{s}</math></center> |
- | ==Distancia del obstáculo a la que se detiene | + | ==Distancia del obstáculo== |
- | + | Para determinar la distancia <math>(d)\,</math> del obstáculo a la que se detiene la partícula, simplemente hay que evaluar la posición (coordenada <math>x\,</math>) de la partícula para el instante <math>t=t^*\,</math>, y después restársela a la posición <math>x_{obs}\,</math> en la que se encuentra el obstáculo: | |
- | <center><math>d=x_ | + | <center><math>d=x_{obs}-x(t^*)=x_{obs}-\left[x(0)+v_x(0)t^*-\frac{1}{6}K(t^*)^3\right]=x_{obs}-x(0)-v_x(0)t^*+\frac{1}{6}K(t^*)^3</math></center> |
y sustituyendo los datos numéricos: | y sustituyendo los datos numéricos: | ||
- | <center><math>d=50\,\mathrm{m}-0\,\mathrm{m}-25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 2.50\,\mathrm{s}+\frac{1}{6}8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^3 | + | <center><math>d=50\,\mathrm{m}-0\,\mathrm{m}-25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 2.50\,\mathrm{s}+\frac{1}{6}\cdot 8.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^3\cdot(2.50\,\mathrm{s})^3=8.33\,\mathrm{m}</math></center> |
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última version al 15:20 23 sep 2013
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1 Enunciado
Una partícula está recorriendo el eje OX en sentido positivo con una celeridad constante de 25 m/s. En un instante dado (t=0) se detecta un obstáculo en su trayectoria a 50 m por delante de ella. A partir de dicho instante se le aplica a la partícula una desaceleración creciente en el tiempo según la fórmula , donde
es una constante de valor igual a 8.00 m/s³. ¿Cuánto tiempo tardará en detenerse la partícula? ¿A qué distancia del obstáculo se detendrá?
2 Velocidad y posición
Se trata de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje OX. Por tanto, podemos escribir:
![\vec{r}=x\,\vec{\imath}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{v}=v_x\,\vec{\imath}=\dot{x}\,\vec{\imath}\,\, ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=a_x\,\vec{\imath}=\dot{v}_x\,\vec{\imath}=\ddot{x}\,\vec{\imath}=-Kt\,\vec{\imath}\,\,\,\,\,\, (\mathrm{para}\,\, t>0)](/wiki/images/math/0/b/e/0be41d5d6936bc1a61ff6082a39f8964.png)
Considerando por simplicidad que el origen de coordenadas coincide con la posición de la partícula en el instante en que se detecta el obstáculo , conocemos también las condiciones iniciales:
![x(0)=0\,\mathrm{m}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, v_x(0)=\dot{x}(0)=25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}](/wiki/images/math/3/9/e/39e235340d754047ab56ba1c517dfa03.png)
Por tanto, determinar la velocidad y la posición de la partícula para se reduce a integrar la aceleración una y dos veces, respectivamente, entre el instante inicial y un instante genérico:
![\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}=-Kt\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}v_x=-Kt\,\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\int_{v_x(0)}^{v_x(t)}\!\mathrm{d}v_x=-K\!\int_{0}^{t}\!t\,\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_x(t)=v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2](/wiki/images/math/7/0/2/702329397227776044741d717ecd74a8.png)
![\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{d}x=\left[v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\right]\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\int_{x(0)}^{x(t)}\!\mathrm{d}x=\int_{0}^{t}\!\left[v_x(0)-\frac{1}{2}Kt^2\right]\mathrm{d}t\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,x(t)=x(0)+v_x(0)t-\frac{1}{6}Kt^3](/wiki/images/math/f/9/1/f91851d7c6c9ea60537d7b3e7c086505.png)
3 Tiempo que tarda en detenerse
La partícula se detendrá en el instante en el que se anule su velocidad, es decir:
![v_x(t^{*})=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,v_x(0)-\frac{1}{2}K(t^*)^2=0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,t^*=\sqrt{\frac{2v_x(0)}{K}}](/wiki/images/math/5/f/a/5fa1850e94ee63f20eeefd6fd5b86cef.png)
y sustituyendo los datos numéricos:
![t^*=\sqrt{\frac{2\cdot 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{8.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^3}}\,\mathrm{s}=2.50\,\mathrm{s}](/wiki/images/math/6/0/7/607fb20b8c31fd5cf885a8b300656f7c.png)
4 Distancia del obstáculo
Para determinar la distancia del obstáculo a la que se detiene la partícula, simplemente hay que evaluar la posición (coordenada
) de la partícula para el instante
, y después restársela a la posición
en la que se encuentra el obstáculo:
![d=x_{obs}-x(t^*)=x_{obs}-\left[x(0)+v_x(0)t^*-\frac{1}{6}K(t^*)^3\right]=x_{obs}-x(0)-v_x(0)t^*+\frac{1}{6}K(t^*)^3](/wiki/images/math/d/7/b/d7b19c5708e4adaeecdbdcde1c1f9106.png)
y sustituyendo los datos numéricos:
![d=50\,\mathrm{m}-0\,\mathrm{m}-25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 2.50\,\mathrm{s}+\frac{1}{6}\cdot 8.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^3\cdot(2.50\,\mathrm{s})^3=8.33\,\mathrm{m}](/wiki/images/math/4/6/d/46da8d56877f48e1470155ffe3fa25e9.png)